Soma dos reais x e y

Determine a soma de todos os reais x e y tais que
(1-x)² + (x-y)² + y² = 1/3

A solução transforma a equação numa eq. 2º grau em x, calcula o delta e iguala a zero, achando y = 1/3, substitui na eq. 2º grau e acha x = 2/3, e assim faz x+y = 1. Não entendi a validade desse método. Por que igualar o delta a 0, etc?

Hgp2102 escreveu:Determine a soma de todos os reais x e y tais que
(1-x)² + (x-y)² + y² = 1/3

A solução transforma a equação numa eq. 2º grau em x, calcula o delta e iguala a zero, achando y = 1/3, substitui na eq. 2º grau e acha x = 2/3, e assim faz x+y = 1. Não entendi a validade desse método. Por que igualar o delta a 0, etc?

Somente será possível analisar a questão se o amigo colocar aí, em detalhes, a referida resolução.



Um abraço.

Hgp2102 escreveu:

Boa noite,

∆ = -12(3y-1)²

√∆  = √(3y-1)² * √(-12) = (3y-1) * 2i√3

A fim de evitar a complexidade da inclusão da parte imaginária, é que foi considerada a condição de ser ∆=0, porque assim fica exposta somente a raiz real:
-12(3y-1)² = 0
(3y-1)² = 0/(-12) = 0
3y-1 = 0
3y = 1
y = 1/3

E tanto é valido resolver assim, que se substituirmos "x" por 2/3 e "y" por 1/3 na equação original, iremos obter:
(1-x)² + (x-y)²+ y² = 1/3
(1 - 2/3)² + (2/3 - 1/3)² + (1/3)² = (1/3)² + (1/3)² + (1/3)² = 3/9 = 1/3

Veja, no wolframalpha (link abaixo), como essas raízes são confirmadas para x e y:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281-x%29%C2%B2+%2B+%28x-y%29%C2%B2+%2B+y%C2%B2+%3D+1%2F3




Um abraço.

Hgp2102 escreveu:

Boa noite,

Como a pessoa que fez a resolução acima explica no decorrer dos cálculos, ele fez ∆=0 para expor somente a raiz real, deixando assim, de lado, a raiz imaginária, inadequada para a solução da questão.

Se substituirmos x por 2/3 e y por 1/3 na equação original, iremos obter:
(1-x)² + (x-y)² + y² = 1/3
(1 - 2/3)² + (2/3 - 1/3)² + (1/3)² = 1/3
(1/3)² + (1/3)² + (1/3)² = 1/3
1/9 + 1/9 + 1/9 = 3/9 = 1/3

Utilizando o programa www.wolframalpha.com, iremos obter essas mesmas raízes reais para x e y (link abaixo):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=6x%C2%B2+-+6%28y%2B1%29x+%2B+%286y%C2%B2%2B2%29+%3D+0



Um abraço.

Hgp2102, eu ACHO que é o seguinte:

Como pede os valores reais de {x;y}, o ∆=-12(3y-1)² ≥ 0 , não é isso? Se sim,

-12(3y-1)² ≥ 0 → -(3y-1)² ≥ 0 . Para que essa desigualdade seja valida, no caso em que ∆ > 0 . o valor (3y-1)² necessariamente teria que ser negativo, o que é "impossivel". Logo, o unico caso de ∆ que satisfaz a inequação, é para ∆=0 .

O que acha?

Ivomilton, mas me ocorrem 2 dúvidas:
1) Como mostrar que x + y = 1, caso ∆ = 0, é suficiente para dizer que x + y = 1 mesmo quando ∆ > 0? Por acaso é sabido que x + y = constante para que se ache para um caso especial (∆ = 0) e assuma que é válido para todos?
2) A questão deixou aberta, para mim, a seguinte interpretação: há diversas soluções (x_n, y_n) que atendem ao que foi pedido e o exercício pede a soma x_1 + x_2 + ... + x_n + y_1 + y_2 + ... + y_n. Essa interpretação é errônea mesmo?

Hmmm, boa sacada, luiz.bfg; eu não tinha reparado e faz sentido mesmo que apenas ∆ = 0 satisfaça. Certamente deve ser isso, obrigado!
Agora só esperar para ver se o grande Ivomilton tem algo a mais para acrescentar. Se não, fechou

Hgp2102 escreveu:Ivomilton, mas me ocorrem 2 dúvidas:
1) Como mostrar que x + y = 1, caso ∆ = 0, é suficiente para dizer que x + y = 1 mesmo quando ∆ > 0? Por acaso é sabido que x + y = constante para que se ache para um caso especial (∆ = 0) e assuma que é válido para todos?
2) A questão deixou aberta, para mim, a seguinte interpretação: há diversas soluções (x_n, y_n) que atendem ao que foi pedido e o exercício pede a soma x_1 + x_2 + ... + x_n + y_1 + y_2 + ... + y_n. Essa interpretação é errônea mesmo?

Boa noite, Hgp e Luiz!

Como diz no início da questão, "Determine a soma de todos os reais x e y" implica que se deve descartar todos as raízes imaginárias ou complexas.
Daí, como raízes reais, a questão só fecha com x=2/3 e y=1/3.
A dedução de ser x+y=1 vem da soma dessas duas frações.
Agora, caro amigo Hgp, grande é somente o Senhor Jesus, Rei dos Reis e Senhor dos Senhores. Eu apenas um ser que Ele criou e vem mantendo aqui até agora, por Sua maravilhosa graça. E esse dom que uso aqui foi Ele quem me deu, pois conforme diz o apóstolo João em seu Evangelho, capítulo 3, versículo 27: "O homem não pode receber coisa alguma, se não lhe for dada do céu."


Uma abençoada semana para ambos.