Inequação quociente

por João Vítor1 Qua 30 Jul 2014, 10:57

Por que a sentença $\frac{(-x^2-4)(x^2-9)}{x^2-1}<0$ é equivalente a $(x^2-1)(x^2-9)>0$ ?

por **Elcioschin** Qua 30 Jul 2014, 13:47

(- x² - 4).(x² - 9) ............. - (x² + 4).(x² - 9)
------------------ < 0 ---> ------------------- < 0
...... (x² - 1) ............................. (x² - 1)

(x² + 4) é sempre positivo, logo, para efeito de sinal pode ser retirado da inequação:

- (x² - 9)
---------- < 0 ---> Multiplicando os dois membros por -1 (e invertendo o sinal de desigualdade)
. (x² - 1)

(x² - 9)
-------- > 0
(x² - 1)

por PedroCunha Qua 30 Jul 2014, 13:48

Olá, João Vítor.

A sentença não é equivalente a (x^2-1) \cdot (x^2-9) > 0 . Veja:

\\ \frac{(-x^2-4) \cdot (x^2-9)}{x^2-1} < 0 \therefore -1 \cdot \frac{(x^2+4) \cdot (x^2-9)}{x^2-1} < 0 \\\\ \Leftrightarrow \frac{(x^2+4) \cdot (x^2-9)}{x^2-1} > 0 .

Como x^2 + 4 \geq 0 , \forall \,\, x \in \mathbb{R} , a sentença inicial é equivalente a \frac{x^2-9}{x^2-1} > 0 .

Att.,
Pedro