(PUC-SP) Polígonos com número de lados primo

O matemático K. F. Gauss(1777-1855) demonstrou que um polígono regular de p lados, onde p é primo, só pode ser construído com régua e compasso se p é da forma  com n natural. Qual dos polígonos abaixo não pode ser construído com régua e compasso?

A) Pentágono
B) Hexágono
C) Heptágono
D) Octógono
E) Heptadecágono

Spoiler:

medock escreveu:O matemático K. F. Gauss(1777-1855) demonstrou que um polígono regular de p lados, onde p é primo, só pode ser construído com régua e compasso se p é da forma  com n natural. Qual dos polígonos abaixo não pode ser construído com régua e compasso?

A) Pentágono
B) Hexágono
C) Heptágono
D) Octógono
E) Heptadecágono

Spoiler:

Boa tarde, medock.

"...onde p é primo..."
Somente nas alternativas (A) e (C) encontramos p primo: pentágono e heptágono.
O pentágono é da forma 2^(2^n) + 1, em que 2^n=2 com n natural e igual a 1.
O heptágono, porém, não satisfaz esse formato.

Alternativa (C)


Nota:
Respondi considerando as colocações feitas no texto da questão.



Um abraço.

... Gauss .... um polígono regular de p lados, onde p é primo, só pode ser construído com régua e compasso se p é da forma  com n natural. Qual dos polígonos abaixo não pode ser construído com régua e compasso?

Nada sei quanto a Gauss ter mesmo dito isso mas sei que este enunciado -- e o gabarito que aponta Heptágono -- é mentira.

Com apenas régua e compasso podemos tanto construir um heptágono regular inscrito num círculo de raio dado como podemos construir um heptágono regular dado o seu lado.

Gauss realmente disse isso sim, e o polígono de 7 lados não pode ser construído apenas com régua e compasso, o próprio Gauss quem demonstrou isso através dessa fórmula estabelecida no enunciado da questão!

Portanto a alternativa correta é a letra C mesmo!

danielzin_solar2 escreveu:Gauss realmente disse isso sim, e o polígono de 7 lados não pode ser construído apenas com régua e compasso, o próprio Gauss quem demonstrou isso através dessa fórmula estabelecida no enunciado da questão!

Portanto a alternativa correta é a letra C mesmo!

Prezado,
já que você afirma isso tão peremptoriamente, teria a capacidade de demonstrar para nós essa "verdade"? No aguardo.
Abs.

Rapaiz!!! Eu nem sei o significado de "peremptoriamente"    

Vou pesquisar no google.

A demonstração foi feita por Gauss aos 19 anos, quando na vdd ele descobriu que o polígono de 17 lados PODE ser construído com régua e compasso!!!  Eu não sei nadinha de como ele fez isso....  A demonstração da fórmula do enunciado, faz com que o polígono de 7 lados não possa ser construído apenas com régua e compasso. Por favor, não me peça a demonstração dessa fórmula que foi conjecturada pela primeira vez por Fermat!

Boa tarde. danielzin e Medeiros.

Creio que o assunto aqui está girando a respeito desta publicação (clicar no link abaixo):

http://www.portal.famat.ufu.br/sites/famat.ufu.br/files/Anexos/Bookpage/famat_revista_13_artigo_6_0.pdf



Um abraço.

Ivomilton,
grato pelo interesse. Desconhecia essa publicação porém ela apenas cita, no teorema 2.3 (pag.119), uma demonstração de Gauss mas não a mostra. Quanto a sua resolução, não a glosei e a considero correta face ao enunciado.

Danielzin,
o que posso dizer? Para dificuldades com palavras, as vezes um dicionário ajuda. Quanto a fórmula, sou de opinião que ciência não é um conjunto de fórmulas, é, sim, um conjunto de princípios. Até agora o que tenho é que alguém disse que o Gauss disse...; não vi demonstração alguma. Segue demonstração da possibilidade que aventei.

1) construção de um heptágono regular dado o raio da circunferência



2) construção de um heptágono regular inscrito dado seu lado



Sinto que a foto não ficou boa.
Abs.

Boa noite, Medeiros.

Foi bom você colocar esta última postagem, pois como você disse que essa divisão era possível de ser feita, nada melhor que apresentá-la para esclarecer toda e qualquer dúvida a respeito.
Em minha resolução eu havia citado que, quando jovem, havia aprendido na escola como dividir a circunferência de modo a nela construir um heptágono. Entretanto foi engano meu, que só percebi depois: o que havia aprendido na escola foi fazer a divisão em 5 partes, para a construção de um pentágono.
Pesquisando agora na net, veja o que encontrei a respeito desse processo de Bion:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Divis%C3%A3o_da_circunfer%C3%AAncia_em_partes_iguais_%28processo_geral%29

Nele consta que divisões em 2, 3, 5, 15 e 17 partes iguais são processos exatos, enquanto que divisões em 7, 9, 11 e 13 partes iguais são processos aproximativos.

É muito provável que seja esse o ponto discutível da questão.



Um abraço.

Ivomilton, boa noite!

São duas coisas diferentes. Uma é você ter uma circunferência e nela inscrever um heptágono regular -- foi o que mostrei no primeiro caso. Outra é você, a partir da medida desejada para o lado do heptágono, construí-lo inscritível -- este é o segundo caso que mostrei.

Não vejo porquê quaisquer deles sejam aproximativos. Ambos são construções geométricas, com régua e compasso. Onde está a aproximação?