Análise Combinatória

Uma caixa automática de banco só trabalha com notas de 5 e 10 reais. Um usuário 
deseja fazer um saque de R$100,00. De quantas maneiras diferentes a caixa eletrônica poderá fazer esse pagamento?
a) 5.
b) 6.
c) 11.
d) 15.
e) 20.

Gabarito:

Olá.

10 notas de 10 reais + 0 notas de 5 reais
9 notas de 10 reais + 1 nota de 5 reais
8 notas de 10 reais  + 2 notas de 5 reais
.
.
.
0 notas de 10 reais + 20 notas de 5 reais

11 maneiras.

Att.,
Pedro

Guilherme Mesquita escreveu:Uma caixa automática de banco só 
trabalha com notas de 5 e 10 reais. Um usuário 
deseja fazer um saque de R$100,00. De quantas 
maneiras diferentes a caixa eletrônica poderá fazer 
esse pagamento?
a) 5.
b) 6.
c) 11.
d) 15.
e) 20.

Gabarito:

Como eu não sou muito bom em análise combinatória, nesses exercícios de análise envolvendo dinheiro eu costumo resolver fazendo uma tabelinha (não precisa completá-la até o final, apenas para que se entenda a linha de raciocínio e contar quantos casos podem ocorrer):

Eu começo pelas possibilidades mais abrangentes e depois vou para os casos em particular:
- 20 notas de 5 reais
- 10 notas de 10 reais
- 2 de 5 e 9 de 10 reais
- 4 de 5 e 8 de 10 reais
- 6 de 5 e 7 de 10 reais
- 8 de 5 e 6 de 10 reais
- 10 de 5 e 5 de 10 reais
- 12 de 5 e 4 de 10 reais
- 14 de 5 e 3 de 10 reais
- 16 de 5 e 2 de 10 reais
- 18 de 5 e 1 de 10 reais

Sendo assim, serão 11 casos.



Abraços

PedroCunha e Folcks fico muito grato pela atenção e também pela rapidez das respostas. Entendi, mas gostaria de saber, existe uma forma mais prática de resolver o exercício?

Uma forma igualmente simples e até mesmo segue a mesma lógica apresentada , só é mais curta é essa :

Escrevemos 100 reais  de forma mais simples com notas de 10 e 5. A forma mais simples é 10 notas de 10. ( 1 maneira)

Dessas 10 notas de 10, cada substituição de uma nota de 10 por duas de 5 gera uma maneira nova, logo temos então 10 substituições ( mais 10 maneiras).

Somando tudo 1+10=11.

 

Muito obrigado Andrew Wiles! É uma maneira bem mais prática.

Ah, de nada Guilherme, realmente é uma mais prática, nem todos os problemas de análise possuem algoritmos prontos para resolução, para falar a verdade, muitos deles temos que desenvolver nossas próprias técnicas para contagem, por isso gosto muito de análise combinatória, em um nível médio, é a matéria que eu particularmente, acho mais parecida com o objetivo principal da matemática, de resolver problemas , desenvolvendo técnicas desconhecidas.