Esfera Inscrita em tronco de cone

O raio da base maior de um tronco de cone de rotação mede 4. Neste tronco está inscrita uma esfera de raio 2. Qual o volume do tronco?

gabarito:

Um plano que corte o tronco de cone axialmente pelo seu diâmetro revela um trapézio isósceles com um círculo inscrito.
 

 
Pitágoras no triângulo indicado pela linha verde tracejada:
(4+b)² = 4² + (4-b)² -----> b=1

A partir daqui há vários modos de se chegar ao volume. O meu preferido é o seguinte.



V = 4*(1/6).[pi.4² + 4.pi.(5/2)² + pi.1²]
V = (2/3).pi.[16 + 25 + 1]
V = 28pi

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outra forma:
Tendo já encontrado b=1, no primeiro desenho prolongue os lados oblíquos e obtenha o vértice do cone original. Seja "H" a altura do cone. Por semelhança de triângulos,
4/1 = H/(H-4) -----> H = 16/3
O cone pequeno, que fica acima da base menor do tronco, tem raio b=1 e altura h, sendo
h = H - 4 -----> h = 4/3
O volume do tronco de cone será a diferença entre o volume do cone de altura H e o de altura h.

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outra forma:

No primeiro desenho, considere a distância d entre a linha vertical de simetria do desenho (é o diâmetro vertical do círculo) e o baricentro do triângulo separado pela linha verde tracejada. Temos que d=2.
Podemos calcular o volume V' gerado pela rotação desse triângulo retângulo em torno da linha vertical de simetria.
E seja V'' o volume do cilindro de raio b=1 e altura 4.
O volume do tronco será dado por:
V = V' + V''
V = 2pi.d.S + pi.b².4
V = 2pi.2.(3*4/2) + pi.1².4
V = 24pi + 4pi
V = 28pi.