Esfera inscrita num cone

por vitinhodobairro Dom 12 Out 2014, 15:26

Um cone será construído usando como área lateral um setor circular de 120º e raio 10cm. Calcule o volume da esfera inscrita nesse cone.

por **Elcioschin** Dom 12 Out 2014, 19:20

Tens a solução?

o raio do setor (10) é a geratriz do cone ---> g = 10

O arco do setor tem comprimento 2.pi.10/3 = 20.pi/3

Este arco é igual ao perímetro da base do cone = 2.pi.R ---> 2.pi.R = 20.pi/3 ---> R = 10/3 cm

Altura do cone ---> h² = g² - R² ---> calcule h

Desenhe o cone e a esfera inscrita, de centro O. Trace um raio r = OA da esfera, perpendicular à uma geratriz

Existem dois triângulos semelhantes r/(h - r) = R/g ---> Calcule r

V = (4/3).pi.r³ ---> Calcule V

por vitinhodobairro Seg 13 Out 2014, 09:53

Por que o arco é 2.pi.10/3? Fora isso, eu entendi e consegui resolver. Desde já, muito obrigado. Smile

por MCarsten Seg 13 Out 2014, 10:44

vitinhodobairro escreveu:Por que o arco é 2.pi.10/3? Fora isso, eu entendi e consegui resolver. Desde já, muito obrigado.

Olá,

observe que 120° é equivalente a 2pi/3 rad. Lembre-se que o comprimento de arco em uma circunferência é dado por:

$l = \frac{\alpha \pi r}{180^{o}}$

Note que a razão $\frac{\alpha \pi}{180^{o}}$ é o equivalente à conversão do ângulo de graus para rad.

Portanto:
$l = \frac{2}{3}\pi10$
$\boxed{l = \frac{20}{3}\pi}$

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