Arcos e Ângulos na Circunferência

por naiad Qui 12 Jun 2014, 20:43

Uma das maneiras de se representar a Terra em uma região plana para o traçado de mapas geográficos é a "projeção estereográfica", que consiste em projetar os pontos de uma esfera sobre um plano perpendicular ao eixo norte-sul da esfera e que passa por seu pólo Sul. Mais precisamente, a projeção de um ponto P da esfera é um ponto P' de α, obtido pela intersecção da reta determinada por P e pelo pólo Norte com o plano α. Essa construção está representada na figura a seguir, em que O é o centro da esfera, M e Q são pontos sobre um mesmo paralelo, A é o ponto médio do segmento M'Q', sendo M' e Q' as projeções dos pontos M e Q, respectivamente.

Arcos e Ângulos na Circunferência 2pqq6gh

Considere que a Terra seja uma esfera de raio igual a 6400 km e que um barco percorra, ao longo de um meridiano, um caminho correspondente a uma diferença de latitude de 60º, a partir da latitude 60º sul, no sentido sul-norte. Considerando um mapa da superfície terreste feito a partir da projeção estereográfica da terra e com escala 1:100000000, calcule, em centímetros, o comprimento da projeção do percurso desse barco no mapa. Para isso, considere ainda, tg 15º = 0,27 e despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

Gabarito: 9

por **Ashitaka** Sex 13 Jun 2014, 12:53

Você vai ter que ter um pouco de imaginação para entender o problema, mas com o desenho que fiz acho que facilita. Q ali é o ponto da linha do Equador onde o barco pararia e o vértice seguinte, no mesmo segmento, é a projeção dele. Queremos determinar x.
Arcos e Ângulos na Circunferência Zp49H1K

Arcos e Ângulos na Circunferência Zp49H1K

tg(30+a) = r/r = 1
30+a = 45
a = 15

tg15 = y/(2r)
y = 12800*0,27 = 3456 km

tg45 = (x+y)/2r
2r = x+y
12800 = 3456 + x
x = 9344 km = 9344*10^5 cm = 9,344*10^8 cm

Escala:
1:10^8

Portanto:
9,344*10^8 cm reais correspondem a 9,344 cm na escala e, desprezando a parte numérica, 9.
Qualquer coisa é só perguntar.
À propósito, gostei muito da sua foto, bem bonita! Assim como a música a que se refere sua assinatura. Smile

por naiad Sex 13 Jun 2014, 13:52

Nossa, muito obrigada mesmo! Passei dias tentando resolver essa questão, consegui entender bem da maneira que fez. Muito obrigada mesmo!

Ah, obrigada. Você gosta da música? A sua foto também é bem legal, haha.

Uma ótima semana!

Very Happy

por **Ashitaka** Sex 13 Jun 2014, 16:57

Sim, embora eu não ouça Birdy com frequência ela tem muitas músicas legais Smile

Uma ótima semana para você também, bons estudos Smile

por naiad Sex 13 Jun 2014, 17:24

Sim, é verdade! Você deveria ouvir mais, ela tem músicas muito boas e inspiradoras hahahaha

Para você também, bons estudos e obrigada mais uma vez! Very Happy