Questão sobre Triângulo Cefet MG 2014/2

Para fazer um origami, uma pessoa tomou uma folha retangular, de dimensões 21 cm x 30 cm, e dobrou-a tal como o figura seguinte. Após essa dobra, o vértice C passou a se localizar sobre o lado AB e o ângulo formado  foi de 30°.



O comprimento do segmento EF, em cm, é:

a) 7
b) 14
c) 21
d) 24
e) 28

Gabarito: e.

viniciushenrique1995 escreveu:Para fazer um origami, uma pessoa tomou uma folha retangular, de dimensões 21 cm x 30 cm, e dobrou-a tal como o figura seguinte. Após essa dobra, o vértice C passou a se localizar sobre o lado AB e o ângulo formado  foi de 30°.



O comprimento do segmento EF, em cm, é:

a) 7
b) 14
c) 21
d) 24
e) 28

Gabarito: e.

Boa noite, Vinicius.

CE/EF = seno 30° = 1/2
EF = 2*CE

Fazendo-se CE=X, vem:
CE = x
EF = 2x

Aplicando-se Pitágoras ao triângulo retângulo ECF, fica:
(CE)² + (CF)² = (EF)²
x² + (2x)² = 5x² = (EF)²
EF = √(5x²)
EF = x√5

Sendo CE = x, então, olhando para a 1ª figura, temos que:
BE = 21-x

Calculando-se a medida de BC por Pitágoras, encontramos:
BC = √[(CE)² - (21-x)²]
BC = √)42x - 441)

Calculando-se, igualmente por Pitágoras, a medida de CF no triângulo ECF, vem:
(CF)² = (EF)² - (EC)² = (2x)² - x² = 4x² - x² = 3x²
CF = √(3x²)
CF = x√3

Também pela 1ª figura, sabemos ser FC = CF = x√3.
Como, pela 1ª figura, CE/EF = 1/2 também, podemos observar que ângulo CFE (com C localizado acima de E) também mede 30°.

Baixando-se uma perpendicular desde F, e designando pela letra G sua intersecção com ABm podemos escrever (ainda olhando para a 1ª figura):
Ângulo GFE = 90°, donde ângulo GFC = 90° - 30° - 30° = 30°.

Assim sendo,
GC/FC = GC/x√3 = sen 30° = 1/2
2.GC = x√3
GC = x√3/2

Lembrando que AG = DF = 30 - x√3, vem:
AB = (30 - x√3) + x√3/2 + √(42x - 441) = 30

Cancelando ambos os "30", fica:
x√3/2 + √(42x - 441) = x√3

Assim, o 1º termo da equação supra é igual à metade do 2º membro; logo, fica:
√(42x - 441) = x√3/2

Elevando-se ao quadrado ambos os membros, temos:
42x - 441 = 3x²/4
4(42x - 441) = 3x²
168x - 1764 = 3x²

3x² - 168x + 1764 = 0
x² - 56x + 588 = 0

Cujas raízes, aplicando-se Bhaskara, são:
x' = 42
x" = 14

Descartando-se x' (por ser maior que os lados do retângulo), fica:
x = 14 cm

EF = 2x
EF = 2*14
EF = 28 cm
 

Alternativa (e)




Um abraço.

http://tinypic.com/view.php?pic=155nxgk&s=8#.U45jXvldU5s
Olá, vamos fazer uma resolução mais simples.

Como eu não sei inserir imagem, tentei fazer algo. Clica nesse link e vê se funciona!!!

Basicamente é assim o raciocínio: Sempre que fazemos dobras, criamos bissetriz.

Seja CE = a. Então C'E = a (por causa da dobra).

Assim, Be = a/2.   Então a/2 + a = 21 donde temos que a = 14 e CF = 2a, ou seja 28.

Essa foi muito fácil mesmo danielzin

Obrigado aos dois pelas respostas!

CE/EF = seno 30° = 1/2 
EF = 2*CE

Resto da resolução:

Olá estou tentando entender essa questão mas está dificil...rsrs
Por que CE = EF ? Não entendi seu raciocinio. Pelo desenho o tamanho é bem diferente, CE é bem menor que EF.
Na outra resposta o cara fala: 

danielzin_solar2 escreveu:Basicamente é assim o raciocínio: Sempre que fazemos dobras, criamos bissetriz.

Seja CE = a. Então C'E = a (por causa da dobra).

Assim, Be = a/2.   Então a/2 + a = 21 donde temos que a = 14 e CF = 2a, ou seja 28.

Ok, CE = a e C'E = a. Sim, concordo , mas BE = a/2? Por que?

Estou realmente querendo entender essa questão. Se alguem puder me ajudar vou ficar muito agradecido.

lucas.fenix escreveu:

CE/EF = seno 30° = 1/2 
EF = 2*CE

Resto da resolução:

Olá estou tentando entender essa questão mas está dificil...rsrs
Por que CE = EF ? Não entendi seu raciocinio. Pelo desenho o tamanho é bem diferente, CE é bem menor que EF.
Na outra resposta o cara fala: 

danielzin_solar2 escreveu:Basicamente é assim o raciocínio: Sempre que fazemos dobras, criamos bissetriz.

Seja CE = a. Então C'E = a (por causa da dobra).

Assim, Be = a/2.   Então a/2 + a = 21 donde temos que a = 14 e CF = 2a, ou seja 28.

Ok, CE = a e C'E = a. Sim, concordo , mas BE = a/2? Por que?

Estou realmente querendo entender essa questão. Se alguem puder me ajudar vou ficar muito agradecido.

Olá, boa noite.

Não foi postado que CE = EF, mas que:

CE/EF = seno 30° = 1/2
EF = 2*CE

Fazendo-se CE=X, vem:
CE = x
EF = 2x

Será bom reler mais atentamente o que escrevi.



Um abraço.

Olá, boa noite.

Não foi postado que CE = EF, mas que:

CE/EF = seno 30° = 1/2
EF = 2*CE

Fazendo-se CE=X, vem:
CE = x
EF = 2x

Será bom reler mais atentamente o que escrevi.
Um abraço.

Antes de mais nada, obrigado pela ajuda!
Cara, realmente interpretei errado. 
Mas seguindo em frente não entendi ainda.

ivomilton escreveu:Aplicando-se Pitágoras ao triângulo retângulo ECF, fica:
(CE)² + (CF)² = (EF)²
x² + (2x)² = 5x² = (EF)²
EF = √(5x²)
EF = x√5

Nessa equação eu entendi o porque de CE ser igual a x² mas CF² = (2x)² ? Como assim? Eu sei que :
CE = x
EF = 2x
Pra mim ficaria:
(EF)² = (CE)² + (CF)²
Ou seja (HIPOTENUSA)² = (CATETO OPOSTO)² + (CATETO ADJACENTE)² respectivamente.
EF = HIPOTENUSA
CE = CATETO OPOSTO
CF = CATETO ADJACENTE
Substituindo:

(2x)² = (x)² + (CF)²
4x² = x² + CF²
CF² = 3x²

Onde que eu errei?

Bom dia, Lucas.

Revendo minha  solução, acabei por perceber que cometi, de fato, alguns enganos.
Como já não dá mais para editá-la, irei refazê-la aqui agora, eliminando essa parte duvidosa e também desnacessária:
---------------------------------------------------------------
Bom dia, Vinicius.

CE/EF = seno 30° = 1/2
EF = 2*CE

Fazendo-se CE=X, vem:
CE = x
EF = 2x

Sendo CE = x, então temos que:
BE = 21-x

Calculando-se a medida de BC por Pitágoras, encontramos:
BC = √[(CE)² - (21-x)²]
BC = √(42x - 441)

Calculando-se, igualmente por Pitágoras, a medida de CF no triângulo ECF, vem:
(CF)² = (EF)² - (EC)² = (2x)² - x² = 4x² - x² = 3x²
CF = √(3x²)
CF = x√3

Também sabemos ser FC = CF = x√3.
Como CE/EF = 1/2 também, podemos observar que ângulo CFE (com C localizado acima de E) também mede 30°.

Baixando-se uma perpendicular desde F, e designando pela letra G sua intersecção com AB, podemos escrever:

Ângulo GFC (C de cima) = 90°, donde ângulo GFC (C de baixo) = 90° - 30° - 30° = 30°.

Assim sendo, (falando sobre o C de baixo): 
GC/FC = GC/x√3 = sen 30° = 1/2
2.GC = x√3
GC = x√3/2

Lembrando que AG = DF = 30 - x√3, vem:
AB = (30 - x√3) + x√3/2 + √(42x - 441) = 30

Cancelando ambos os "30", fica:
x√3/2 + √(42x - 441) = x√3

Assim, o 1º termo da equação supra é igual à metade do 2º membro; logo, fica:
√(42x - 441) = x√3/2

Elevando-se ao quadrado ambos os membros, temos:
42x - 441 = 3x²/4
4(42x - 441) = 3x²
168x - 1764 = 3x²

3x² - 168x + 1764 = 0
x² - 56x + 588 = 0

Cujas raízes, aplicando-se Bhaskara, são:
x' = 42
x" = 14

Descartando-se x' (por ser maior que os lados do retângulo), fica:
x = 14 cm

EF = 2x
EF = 2*14
EF = 28 cm
-------------------------------------------------------
Espero que agora tenha ficado correta a solução.
Desculpe minhas falhas.



Um abraço.