questão sobre funções cefet mg 2012/2

as funções  e  são tais que f(x) < g(x) somente para valores de x ∈ ]-1,0[ ∪ ]0,3[. nessas condições, k é um:

a) número primo.
b) número natural.
c) número racional.
d) inteiro quadrado perfeito.
e) mdc entre dois números inteiros consecutivos.

gabarito: letra c.

Faça f(x) < g(x)

(x² + 1) é sempre positivo, logo podemos multiplicar toda a inequação por (x² + 1)

Faça isto isole tudo no 1º membro e simplifique

Coloque x² em evidência ----> x².(a.x² + bx + c) < 0

como x² > 0 o sinal da função entre parênteses deve ser negativo

Calcule as raízes de a.x² + b.x + c = 0

A parábola pode ter a concavidade voltada para cima (k + 2 > 0) ou para baixo (k + 2 < 0) ou nem ser uma parábola (k + 2) = 0. Neste caso seria uma reta

1) Se k + 2 > 0 a função é negativa entre as raízes
2) Se k + 2 < 0, a função é negativa exteriormente às raízes  
3) Se k + 2 = 0 e declividade da reta for negativa, a função será negativa após a única raiz e vice-versa

Compreendi seu raciocínio. Encontrei como raízes da equação x' = k+4/k+2 e x'' = -1. Porém não entendi como você chegou a conclusão de que k é um número racional.

Eu não fiz as contas: dei apenas as dicas para você seguir e resolver.

Obrigado! Segui seu raciocínio e consegui fazer as contas. Encontrei um intervalo para o qual k pode pertencer. Dentre as alternativas dadas, a letra c é a mais plausível.