Um professor distraído - Probabilidades

Um professor distraído escreveu n cartas e as lacrou em envelopes sem escrever os endereços nos envelopes. Tendo se esquecido qual carta ele colocou em cada envelope, ele escreveu os n endereços nos envelopes aleatoriamente. Qual a probabilidade de que ao menos uma das cartas tenha recebido o endereço correto?

Agradeço a quem puder ajudar. Obrigado.

Até entendi a fórmula, que desconhecia, mas agora estou intrigado pela sua demonstração.

Obrigado, Pedro.

Mas não entendi o porquê de a probabilidade ser dada pela probabilidade de nenhum endereço correto, já que ele pede a probabilidade de pelo menos um endereço ter sido colocado corretamente.

Talvez alguém consiga. Obrigado.

Obs.: Questão da OBM essa que você postou? haha

Pedro,

não sei se o sr. notou, mas essa fórmula é MUITO parecida com a fórmula geral da cardinalidade da união de n conjuntos; a diferença é que a fórmula citada refere-se ao número total de elementos da união dos n conjuntos, enquanto essa fórmula aqui nos dá a probabilidade de ocorrer cada conjunto (cada evento). Obviamente elas calculam coisas diferentes, mas as fórmulas são de uma semelhança muito grande. Trocando o "P" dessa fórmula aqui por "n"(número de conjuntos), as fórmulas são idênticas. Não sei dizer o porquê. Espero que algum metereologista com bom domínio de teoria do caos venha nos explicar, haha.

O que pude entender (limitadamente) da fórmula aqui referida:
Ai,Aj,Ak,...,An são os eventos que podem ocorrer.
P(União de Ai, de i = 1 até n = n, ou seja,A1+A2+...+Aj+Ak+...+An) = (Soma das probabilidades de ocorrer o evento Ai com i = 1) - (soma das probabilidades de ocorrer a interseção entre o evento Ai e o evento Aj, contanto que i seja menor do que j) + (soma das probabilidades de ocorrer a interseção entre o evento Ai, Aj e Ak, contanto que i < j< k) - ... + [(-1)^n+1] (Probabilidade de ocorrer a interseção entre todos os conjuntos considerados, desde Ai até An).

Num outro exemplo, vamos supor que Ai é um evento em que caem números pares quando se joga um dado de seis faces numeradas de 1 a 6. O evento engloba 2,4 e 6. Vamos supor agora que Aj é um evento em que caem números múltiplos de 3 quando se joga um dado de seis faces numeradas de 1 a 6. O evento engloba 3 e 6. Então, concluo que a interseção entre o evento Ai e o evento Aj, nesse exemplo, seja o evento em que cai a face 6, pois 6 é par e é múltiplo de 3. Logo, pediria-se a probabilidade de cair a face numerada com 6 num dado não viciado de seis faces numeradas de 1 a 6, ou seja, 1 em 6. Agora só basta conseguir aplicar isso, de uma maneira terrivelmente maravilhosa, a um caso de Ai,Aj,Ak...,An eventos.
Juro que não sei explicar nem de longe esse (-1)^n+1.

Fiquei muito intrigado com essa questão.
Seria maravilhoso se alguma alma gaussiana a resolvesse.  

Também não domino tanta probabilidade assim. Meu limite é o Morgado.

Que questão dos infernos.

Tomara que não caia no ITA, haha.

Abraços, Pedro.