Conjunto solução, em R,[...]

O conjunto solução, em R, da equação 1+2x+3(x)^2+4(x)^3+5(x)^4+...= 5/3 + 8/9 + 11/27 +14/81 + ..., é

Re: {[Sqrt(13) -2]/(Sqrt(13).



Vir que a sequencia segue a lei de formação para a referida soma:
(3n+2)/(3^n) com n = 1 ao infinito.

Essa sequência é conhecida como PAG (progressão aritmo-geométrica) , multiplicando a soma inicial pela razão da PG e subtraindo dela vc obtém uma PG:

S = 1 + 2x + 3x² + 4x³ + ....
Sx = x + 2x² + 3x³ + 4x^4
S - Sx = 1 +(2x-x) + (3x² -2x²) + (4x³ - 3x³) + ...
S(1-x) = 1 + x + x² + x³ + ...
para essa soma não ter valor infinito 0 < x < 1 ,então temos:
S(1-x) = 1/(1-x)
S = 1/(1-x)²

S = 5/3 + 8/9 + 11/27 +14/81 + ...
mesmo procedimento:
S/3 = 5/9 + 8/27 + 11/81 + ....
S - S/3 = (5/3) + (3/9) + (3/27) + (3/81) + ...
2S/3 = (5/3) + 3[ (1/3²) + (1/3³) + (1/3^4) +...
2S/3 = (5/3) + 3[ (1/3²)/(1 - (1/3))]
2S/3 = (5/3) + (1/3)/(1 - (1/3) )
2S/3 = (5/3) + (1/2)
2S/3 = 13/6
S = 13/4
1/(1-x)² = 13/4
1/(1-x) = √13/2
1-x  = 2/√13
x = 1 - (2/√13)
x = (√13 -2)/√13