Identidade trigonométrica

(Udesc) A expressão mais simples para
 é?


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Olá.

1 + 1/(cos²x*cosec²x) - sec²x .:. 1 + 1/(cos²x * 1/sen²x) - sec²x .:. 1 + tg²x - sec²x .:. sec²x - sec²x = 0

Att.,
Pedro

Obrigado Pedro   Havia feito muito cálculo.. tem que fazer as substituições com atenção, caso contrário dá muito trabalho!

Utilizando uma recorrente identidade que deriva da relação fundamental da trigonometria (RFT):

Dividimos a equação por \( \cos^2(x)\)
    \[
        \begin{align*}
            \Big( \sin^2(x) + \cos^2(x) & = 1 \Big) \div \frac{1}{\cos^2(x)} \\
            \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} & = \frac{1}{\cos^2(x)} \\
            \tan^2(x) + 1 &= \sec^2(x)
        \end{align*}
    \]
Concluímos que
    \[
        \textcolor{magenta}{\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)}.
    \]
Aplicando no problema:
\[
\begin{align*}
1 + \frac{1}{\cos^2(x) \csc^2(x) } - \sec^2(x) & = 1 + \frac{1}{\cos^2(x) \cdot \frac{1}{\sin^2(x) } } -\sec^2(x) \\
& = 1 + \frac{ 1 }{\cot^2(x)} - \sec^2(x) \\
& = 1 + \underbrace{\tan^2(x) - \sec^2(x)}_{-1} \\
& = 1 + (-1) \\
& = 0
\end{align*}
\]