trigonometria no triangulo retangulo

por lipoitvit Seg 10 Fev 2014, 18:36

Num triângulo ABC, retângulo em A, seja D a projeção de A sobre BC. Sabendo-se que o segmento BD mede 1 cm e que DÂC mede θ graus, então a área do triângulo ABC vale:

Resposta: (L²/2) sec². θ tg θ

Se possivel fazer um demonstraçao do triangulo

por **Matheus Vilaça** Seg 10 Fev 2014, 19:04

lipoitvit, só uma observação: somente se chamarmos BD de L a resposta será a do gabarito. Considerando isso, vou postar a resolução abaixo:

Segundo o enunciado, temos:
trigonometria no triangulo retangulo <a href=

trigonometria no triangulo retangulo <a href=

trigonometria no triangulo retangulo 4b01

Assim, no triângulo ABD, temos:
$\small \\cos\: \theta =\frac{L}{AB}\\\\ AB=L.sec\: \theta$

No triângulo ABC, temos:
$\small \\tg\: \theta =\frac{AC}{AB}\\ \\AC=AB.tg\: \theta\\ \\AC=L.sec\: \theta .tg\: \theta \\$

A área do triângulo é:
A= AB.AC/2

$\small A=\frac{L.sec\: \theta .L.sec\: \theta .tg\: \theta }{2}=\frac{L^2.sec^2\: \theta .tg\: \theta }{2}$

por lipoitvit Seg 10 Fev 2014, 19:41

cara valeu mesmo, o que fez eu nao acertar e nao entendi porque pode fazer isso, é porque o angulo DÂC é iqual ao ABC?

por **Matheus Vilaça** Seg 10 Fev 2014, 19:59

Observe a explicação abaixo:

- Como ADC é um triângulo retângulo, temos para os ângulos internos:
DAC+DCA= 90
DCA= 90 -DAC
DAC = θ
DCA= 90 - θ

- No triângulo ABC, temos:
BCA+ABC=90
BCA=DCA= 90- θ
90- θ+ABC=90

ABC=θ