Comparar nº com raízes da equação do 2º grau
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Comparar nº com raízes da equação do 2º grau
Olá!
Eu estou com dúvida na questão A.244 do livro do Gelson Iezzi vol.1 (é a 3ª edição).
"Determinar m na equação do 2º grau
para que se tenha uma única raiz entre -1 e 2."
Eu pensei assim:
ele quer![Comparar nº com raízes da equação do 2º grau Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?-1%20%3C%20x_%7B1%7D%20%5Cleq%20x_%7B2%7D%20%3C%202)
Para isso, eu separei assim:
A) -1 < x1 ≤ x2 e
B) x1 ≤ x2 < 2
E fiz assim:
Para A) Para B)
![Comparar nº com raízes da equação do 2º grau Gif.latex?a](http://latex.codecogs.com/gif.latex?a.f%282%29%3E%200)
![Comparar nº com raízes da equação do 2º grau Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?2%20%3E%20%5Cfrac%7B-b%7D%7B2a%7D)
![Comparar nº com raízes da equação do 2º grau Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20%5Cgeq%200)
Eu calculei todas essas condições para o A) e fiz a intersecção, depois calculei as condições do B) e fiz a intersecção e depois fiz a intersecção de A) e B), porém o meu deu 1/2 < m < 3
Agradeço a quem puder ajudar!
Gabarito:
Eu estou com dúvida na questão A.244 do livro do Gelson Iezzi vol.1 (é a 3ª edição).
"Determinar m na equação do 2º grau
Eu pensei assim:
ele quer
Para isso, eu separei assim:
A) -1 < x1 ≤ x2 e
B) x1 ≤ x2 < 2
E fiz assim:
Para A) Para B)
Eu calculei todas essas condições para o A) e fiz a intersecção, depois calculei as condições do B) e fiz a intersecção e depois fiz a intersecção de A) e B), porém o meu deu 1/2 < m < 3
Agradeço a quem puder ajudar!
Gabarito:
- Spoiler:
e
ou
Última edição por Cesarr em Qui 06 Fev 2014, 15:59, editado 1 vez(es)
Cesarr- Iniciante
- Mensagens : 9
Data de inscrição : 06/02/2014
Idade : 29
Localização : Paraná
Re: Comparar nº com raízes da equação do 2º grau
Acho que sua interpretação está errada; o enunciado pede que haja apenas UMA raiz entre -1 e 2 e do seu modo existem DUAS raízes no intervalo citado
Acho que o correto então seria
- 1 < x2 < 2 e x1 ≤ - 1
ou
- 1 < x2 < 2 e x1 ≥ 2
Encontre as raízes e imponha estas condições
Acho que o correto então seria
- 1 < x2 < 2 e x1 ≤ - 1
ou
- 1 < x2 < 2 e x1 ≥ 2
Encontre as raízes e imponha estas condições
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72626
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Comparar nº com raízes da equação do 2º grau
Obrigado pela atenção, Elcioschin!
Eu entendi o que o senhor falou e fiz, refiz e nada! Muito provavelmente eu esteja errando nos cálculos ou gráficos, pois eu estou aqui desde 8 da manhã fazendo e refazendo esse exercício e posso ter deixado passar algum detalhe por cansaço mesmo. Mas eu também posso estar errando na teoria, por isso eu postei a minha resolução para, se possível, o senhor dar uma olhada e falar onde eu estou errando.
Obs.: Na resolução, eu nem coloquei o delta, pois ele ficou assim: 8m² - 4m + 4, aí, se fizer 8m² - 4m + 4 > 0, o m será qualquer número real, pois a > 0 e delta = -112.
Resolução: casimages.com.br/i/140207124719954271.jpg.html
(Se estiver pequeno, clique na imagem e aperte "F").
Obrigado!![Very Happy](https://2img.net/i/fa/i/smiles/icon_biggrin.png)
Eu entendi o que o senhor falou e fiz, refiz e nada! Muito provavelmente eu esteja errando nos cálculos ou gráficos, pois eu estou aqui desde 8 da manhã fazendo e refazendo esse exercício e posso ter deixado passar algum detalhe por cansaço mesmo. Mas eu também posso estar errando na teoria, por isso eu postei a minha resolução para, se possível, o senhor dar uma olhada e falar onde eu estou errando.
Obs.: Na resolução, eu nem coloquei o delta, pois ele ficou assim: 8m² - 4m + 4, aí, se fizer 8m² - 4m + 4 > 0, o m será qualquer número real, pois a > 0 e delta = -112.
Resolução: casimages.com.br/i/140207124719954271.jpg.html
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Obrigado!
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Cesarr- Iniciante
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Data de inscrição : 06/02/2014
Idade : 29
Localização : Paraná
Re: Comparar nº com raízes da equação do 2º grau
Meu caro
Sem o delta você não consegue calcular as raizes
E como vai testar as inequações 0 < x2 e x2 < 2
Sem o delta você não consegue calcular as raizes
E como vai testar as inequações 0 < x2 e x2 < 2
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72626
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Comparar nº com raízes da equação do 2º grau
Olá.
Se a raiz pertence ao intervalo ]-1,2[, devemos ter m < f(-1) ou m > f(2) e é claro, m ≠ 0:
m*(-1)² - 2 * (m-1) * (-1) - m - 1 .:. m + 2m - 2 - m - 1 .:. 2m - 3 .:. m = 3/2
m*(2)² - 2 * (m-1) * 2 - m - 1 .:. 4m - 4m + 4 - m - 1 .:. m = 3
Logo: m < 3/2 ou m > 3, m ≠ 0
Att.,
Pedro
Se a raiz pertence ao intervalo ]-1,2[, devemos ter m < f(-1) ou m > f(2) e é claro, m ≠ 0:
m*(-1)² - 2 * (m-1) * (-1) - m - 1 .:. m + 2m - 2 - m - 1 .:. 2m - 3 .:. m = 3/2
m*(2)² - 2 * (m-1) * 2 - m - 1 .:. 4m - 4m + 4 - m - 1 .:. m = 3
Logo: m < 3/2 ou m > 3, m ≠ 0
Att.,
Pedro
PedroCunha- Monitor
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Data de inscrição : 13/05/2013
Idade : 27
Localização : Viçosa, MG, Brasil
Re: Comparar nº com raízes da equação do 2º grau
Muito obrigado, PedroCunha!
Eu nunca teria pensado nisso, pois você fez -1 < x1 < 2 e nem mexeu com o x2, algo que eu não fiz.
Além disso, eu estava calculando -1 < x1 < 2 assim:
a.f(-1) > 0 e a.f(2) > 0
-1 < -b/2a e 2 > -b/2a
delta > 0 e delta > 0
E depois de calcular tudo isso, eu fiz a intersecção.
Mas agora eu aprendi que -1 < x1 < 2 se calcula assim: m < f(-1) ou m > f(2)
Muito obrigado pela ajuda, Elcioschin e PedroCunha!
Eu nunca teria pensado nisso, pois você fez -1 < x1 < 2 e nem mexeu com o x2, algo que eu não fiz.
Além disso, eu estava calculando -1 < x1 < 2 assim:
a.f(-1) > 0 e a.f(2) > 0
-1 < -b/2a e 2 > -b/2a
delta > 0 e delta > 0
E depois de calcular tudo isso, eu fiz a intersecção.
Mas agora eu aprendi que -1 < x1 < 2 se calcula assim: m < f(-1) ou m > f(2)
Muito obrigado pela ajuda, Elcioschin e PedroCunha!
Cesarr- Iniciante
- Mensagens : 9
Data de inscrição : 06/02/2014
Idade : 29
Localização : Paraná
Re: Comparar nº com raízes da equação do 2º grau
Olá.
Esse é um dos casos. É sempre melhor fazer o caminho completo. Podemos ter f(a) < m < f(b) também. Tem que ser feito um estudo pela Teoria mesmo.
Att.,
Pedro
Esse é um dos casos. É sempre melhor fazer o caminho completo. Podemos ter f(a) < m < f(b) também. Tem que ser feito um estudo pela Teoria mesmo.
Att.,
Pedro
PedroCunha- Monitor
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Data de inscrição : 13/05/2013
Idade : 27
Localização : Viçosa, MG, Brasil
Re: Comparar nº com raízes da equação do 2º grau
Olá, PedroCunha!
Eu resolvi uns exercícios e consegui deduzir o jeito de resolver para cada caso. Eu estava errando porque eu não sabia que não precisa fazer S/2 <(>) -b/2a quando for do tipo x' < a < x'' < b e do tipo desse exercício aí também.
Mas eu consegui por causa da ajuda de vocês, Elcioschin e PedroCunha!
Agora eu consegui resolver todos os exercícios do livro do Gelson Iezzi desse assunto!
Muitíssimo obrigado!![Very Happy](https://2img.net/i/fa/i/smiles/icon_biggrin.png)
Eu resolvi uns exercícios e consegui deduzir o jeito de resolver para cada caso. Eu estava errando porque eu não sabia que não precisa fazer S/2 <(>) -b/2a quando for do tipo x' < a < x'' < b e do tipo desse exercício aí também.
Mas eu consegui por causa da ajuda de vocês, Elcioschin e PedroCunha!
Agora eu consegui resolver todos os exercícios do livro do Gelson Iezzi desse assunto!
Muitíssimo obrigado!
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Cesarr- Iniciante
- Mensagens : 9
Data de inscrição : 06/02/2014
Idade : 29
Localização : Paraná
Re: Comparar nº com raízes da equação do 2º grau
Cesarr, poste então as conclusões que você chegou acerca da maneira de resolver esse tipo de exercícios. Irá ajudar quem tiver dúvidas.
Att.,
Pedro
Att.,
Pedro
PedroCunha- Monitor
- Mensagens : 4639
Data de inscrição : 13/05/2013
Idade : 27
Localização : Viçosa, MG, Brasil
Re: Comparar nº com raízes da equação do 2º grau
Logo abaixo, estão todos os casos que eu encontrei no livro e como resolvê-los. Eu não sei se esses métodos são corretos, mas funcionaram para todos os exercícios.
CASO: x1 < 1 < x2
Determinar m de modo que o número 1 esteja compreendido entre as raízes da equação mx² + (m – 1)x – m = 0.
Resolução:
x1 < 1 < x2
a.f(1) < 0
m.(m.1² + (m – 1).1 – m) < 0
m² - m < 0
Agora é só fazer o intervalo.
Resposta: 0 < m < 1
CASO: x1 < x2 < 1
Determinar m de modo que a equação (m – 3)x² + 2(m – 2)x + m + 1 = 0 tenha raízes reais tais que x1 < x2 < 1.
Resolução:
A) a.f(1) > 0
(m – 3).(m – 3 + 2m – 4 + m + 1) > 0
4m² - 18m + 18 > 0
m < 3/2 ou m > 3
B) 1 > -b / 2a
1 > -2m + 4 / 2m – 6
-4m + 10 / 2m – 6 < 0
m < 5/3 ou m > 3
C) ∆ > 0
b² - 4.a.c > 0
-8m + 28 > 0
m < 7/2
Agora é só fazer a intersecção entre os intervalos A, B e C.
Resposta: m < 3/2 ou 3 < m < 7/2
CASO: -1 < x1 < x2
Determinar m de modo que a equação mx² - (2m + 1)x + 2 + m = 0 tenha raízes reais tais que -1 < x1 < x2.
Resolução:
A) a.f(-1) > 0
m.(m + 2m + 1 + 2 + m) > 0
4m² + 3m > 0
m < -3/4 ou m > 0
B) -1 < -b / 2a
-1 < 2m + 1 / 2m
4m + 1 / 2m > 0
m < 1/4 ou m > 0
C) ∆ > 0
b² - 4.a.c > 0
-4m + 1 > 0
m < 1/4
Agora é só fazer a intersecção entre os intervalos A, B e C.
Resposta: m < -3/4 ou 0 < m < 1/4
CASO: 0 < x1 < x2 < 2
Determinar m de modo que a equação mx² - 2(2m + 1)x + m + 5 = 0 tenha raízes reais tais que 0 < x1 < x2 < 2.
Resolução:
Para 0 < x1 < x2 Para x1 < x2 < 2
a.f(0) > 0 a.f(2) > 0
0 < -b / 2a 2 > -b / 2a
∆ > 0 ∆ > 0
Agora é só calcular tudo e fazer a intersecção.
Resposta: m < -5
CASO: x1 < 0 < x2 < 2
Determinar m de modo que a equação mx² - 2(m + 1)x + m + 5 = 0 tenha raízes reais tais que x1 < 0 < x2 < 2.
Resolução:
Para x1 < 0 < x2 Para 0 < x2 < 2
a.f(0) < 0 a.f(2) > 0
∆ > 0
Agora é só calcular tudo e fazer a intersecção.
Resposta: -5 < m < -1
CASO: uma única raiz entre dois números.
Determinar m na equação (3m – 2)x² + 2mx + 3m = 0 para que se tenha uma única raiz entre -1 e 0.
Resolução:
-1 < x1 < 0
m < f(-1) m > f(0)
m < (3m – 2 – 2m + 3) m > 3m
m < 4m – 2 m > 0
m < 1/2
Resposta: 0 < m < 1/2
É isso aí.
CASO: x1 < 1 < x2
Determinar m de modo que o número 1 esteja compreendido entre as raízes da equação mx² + (m – 1)x – m = 0.
Resolução:
x1 < 1 < x2
a.f(1) < 0
m.(m.1² + (m – 1).1 – m) < 0
m² - m < 0
Agora é só fazer o intervalo.
Resposta: 0 < m < 1
CASO: x1 < x2 < 1
Determinar m de modo que a equação (m – 3)x² + 2(m – 2)x + m + 1 = 0 tenha raízes reais tais que x1 < x2 < 1.
Resolução:
A) a.f(1) > 0
(m – 3).(m – 3 + 2m – 4 + m + 1) > 0
4m² - 18m + 18 > 0
m < 3/2 ou m > 3
B) 1 > -b / 2a
1 > -2m + 4 / 2m – 6
-4m + 10 / 2m – 6 < 0
m < 5/3 ou m > 3
C) ∆ > 0
b² - 4.a.c > 0
-8m + 28 > 0
m < 7/2
Agora é só fazer a intersecção entre os intervalos A, B e C.
Resposta: m < 3/2 ou 3 < m < 7/2
CASO: -1 < x1 < x2
Determinar m de modo que a equação mx² - (2m + 1)x + 2 + m = 0 tenha raízes reais tais que -1 < x1 < x2.
Resolução:
A) a.f(-1) > 0
m.(m + 2m + 1 + 2 + m) > 0
4m² + 3m > 0
m < -3/4 ou m > 0
B) -1 < -b / 2a
-1 < 2m + 1 / 2m
4m + 1 / 2m > 0
m < 1/4 ou m > 0
C) ∆ > 0
b² - 4.a.c > 0
-4m + 1 > 0
m < 1/4
Agora é só fazer a intersecção entre os intervalos A, B e C.
Resposta: m < -3/4 ou 0 < m < 1/4
CASO: 0 < x1 < x2 < 2
Determinar m de modo que a equação mx² - 2(2m + 1)x + m + 5 = 0 tenha raízes reais tais que 0 < x1 < x2 < 2.
Resolução:
Para 0 < x1 < x2 Para x1 < x2 < 2
a.f(0) > 0 a.f(2) > 0
0 < -b / 2a 2 > -b / 2a
∆ > 0 ∆ > 0
Agora é só calcular tudo e fazer a intersecção.
Resposta: m < -5
CASO: x1 < 0 < x2 < 2
Determinar m de modo que a equação mx² - 2(m + 1)x + m + 5 = 0 tenha raízes reais tais que x1 < 0 < x2 < 2.
Resolução:
Para x1 < 0 < x2 Para 0 < x2 < 2
a.f(0) < 0 a.f(2) > 0
∆ > 0
Agora é só calcular tudo e fazer a intersecção.
Resposta: -5 < m < -1
CASO: uma única raiz entre dois números.
Determinar m na equação (3m – 2)x² + 2mx + 3m = 0 para que se tenha uma única raiz entre -1 e 0.
Resolução:
-1 < x1 < 0
m < f(-1) m > f(0)
m < (3m – 2 – 2m + 3) m > 3m
m < 4m – 2 m > 0
m < 1/2
Resposta: 0 < m < 1/2
É isso aí.
Cesarr- Iniciante
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Idade : 29
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