Triângulo - Soma

O triângulo ABC tem AB = 13 e AC = 15, e a altura relativa ao lado BC tem comprimento 12. Qual é a soma dos dois possíveis valores de BC?

gab:18

O triângulo ABC tem AB = 13 e AC = 15, e a altura relativa ao lado BC tem comprimento 12. Qual é a soma dos dois possíveis valores de BC?

De início vou supor que o ∆ABC é obtusângulo. Seja B seu vértice obtuso.
Prolongando o lado BC até o ponto P, pé da altura, temos dois triângulos retângulos: ∆APB e ∆APC. Aplicando Pitágoras duas vezes:

13² = 12² + PB² -----> PB² = 169 - 144 = 25 -----> PB = 5 ........ só serve o "+5" pois esta distância, com certeza, é um valor positivo.

15² = 12² + (BC + PB)² -----> 225 = 144 + BC² +  10.BC + 25

BC² + 10.BC - 56 = 0
discriminante = 100 + 224 = 324 = 18²
BC = (-10 ± 18)/2 = -5 ± 9

BC' = 4
BC" = -14

Sabemos que NÃO existe triângulo com lado negativo porém, aqui, cabe interpretar as duas raízes da solução algébrica, ou seja, esse resultado negativo PB=-14.
1) Supus, no início, que o ∆ABC era obtuso e que o lado BC ficava à direita da altura AP.  Para esta situação, BC=4.
2) Porém se, a partir do vértice B medirmos 14 unidades para a esquerda e aí marcarmos o ponto C', ficamos com o ∆ABC', acutângulo de base BC'=14 e mesma altura h=12. Nesta nova configuração, APC' formam um triângulo retângulo pitagórico de lados 9, 12 e 15.

Portanto, os dois resultados possíveis para o lado BC são:
BC = 4 ........ triângulo obtusângulo
BC = 14 ...... triângulo acutângulo

Soma = 4 + 14 = 18

Obs.: ainda bem que não tomei o coeficiente de BC¹ ("10", marcado em azul) na eq. quadrática e apliquei Girard chamando a soma=-10 !!!

caramba Euclides, fiquei mais de meia hora escrevendo!

Medeiros escreveu:caramba Euclides, fiquei mais de meia hora escrevendo!

Eu não consigo lidar com geometria sem fazer um esbôço. Geometria para mim é muito visual. Desenhei lembrando que "a altura relativa a um lado, tem o pé sobre o lado, ou sobre o prolongamento do lado". Os triângulos pitagóricos ficaram muito evidentes e olhando o desenho é possível fazer "de cabêça".