Mostre que a função f(x) = 2^x

por **aryleudo** Dom 25 Abr 2010, 18:57

Seja f: Q --> Q tal f(1) = 2 e f(x + y) = f(x).f(y) para qualquer valor x, y $Mostre que a função f(x) = 2^x Gif$ Q. Mostre que f(x) = 2^x para todo x $Mostre que a função f(x) = 2^x Gif$ Q.

OBS.: Estou com dificuldades de finalizar a demonstração. Gostaria que algum participante do fórum pudesse me ajudar.
Já fiz isso:
$Mostre que a função f(x) = 2^x Gif.latex?\\f(1)&space;=&space;2\\f(2)&space;=&space;f(1&space;+&space;1)&space;=&space;f(1).f(1)&space;=&space;2.2&space;=&space;4&space;=&space;(1^{2}+2.1.1+1^{2})&space;=&space;(1+1)^{2}=&space;2^{2}\\f(3)=f(1+2)=f(1).f(2)=8=(1^{3}+3.1^{2}.1+3.1.1^{2}+1^{3})=(1+1)^{3}=2^{3}\\.\\.\\.\\f(x)=???=(1^{x}+x.1^{x-1}.1+&space;...&space;+&space;x.1$

A partir das três interrogações é que não consegui desenvolver.

por **luiseduardo** Dom 25 Abr 2010, 20:43

Olá Ary,
Vou tentar resolver do inicio, qualquer coisa é só perguntar:

f(1) = 2
Então,
f(0 + 1) = f(0).f(1) = 2 ---> f(0).2 = 2 ----> f(0) = 1
f(2) = f(1).f(1) = 4

Então, seguindo esse procedimento iremos encontrar:

f(0) = 1
f(1) = 2
f(2) = 4
f(3) = 8
f(4) = 16
f(5) = 32
...
f(x) = 2^x

Porque se x = 1, então, sua função será 2. ---> f(1) = 2
O mesmo irá acontecer com os demais números aceitos.
x = 2, então, 2^x = 4
E assim por diante.

Acredito que seja isso. Wink

por Viniciuscoelho Sex 30 Abr 2010, 13:25

Olá, Aryleudo.
Resolvi essa questão hoje:
https://pir2.forumeiros.com/lgebra-f5/funcaoformula-geral-t6290.htm#16832 ; e percebi que esta questão,a que postou, é uma "PG" com o "termo inicial igual = 1";logo para ver a demonstração dessa função; veja a dedução da fórmula do termo geral de uma PG.

Abraços

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