OBM 2006
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OBM 2006
por iaguete Sáb 18 Jan 2014, 11:37
Quantos ternos de números reais x,y,z satisfazem o sistema abaixo?
x(x+y+z)=2005
y(x+y+z)=2006
z(x+y+z)=2007
a)nenhum b)1 c)2 d)3 e)2006
gabarito: c
x(x+y+z)=2005
y(x+y+z)=2006
z(x+y+z)=2007
a)nenhum b)1 c)2 d)3 e)2006
gabarito: c
iaguete- Jedi
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Re: OBM 2006
por Elcioschin Dom 19 Jan 2014, 16:30
Some as 3 equações
x.(x + y + z) + y.(x + y + z) + z.(x + y + z) = 2005 + 2006 + 2007
(x + y + z).(x + y + z) = 6018
(x + y + z)² = 6018
x + y + z = ± √6018
x.(x + y + z) = 2005 ----> x.(± √6018) = 2005 ----> x = ± 2005.√6018/6018
De modo similar y = ± 2006.(√6018)/6018 e z = ± 2007.(√6018)/6018
Simplifique as frações
x.(x + y + z) + y.(x + y + z) + z.(x + y + z) = 2005 + 2006 + 2007
(x + y + z).(x + y + z) = 6018
(x + y + z)² = 6018
x + y + z = ± √6018
x.(x + y + z) = 2005 ----> x.(± √6018) = 2005 ----> x = ± 2005.√6018/6018
De modo similar y = ± 2006.(√6018)/6018 e z = ± 2007.(√6018)/6018
Simplifique as frações
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Re: OBM 2006
por Convidado Sex 15 Jun 2018, 17:29
Então são 8 ternos? Já que cada incógnita pode ser positiva ou negativa.
Convidado- Convidado
Re: OBM 2006
por SpaceFunction Sex 15 Jun 2018, 17:35
Não, são apenas dois. x+y+z assume dois valores possíveis, mas você usa apenas um deles para determinar todos os valores de x, y e z.tungstenio1 escreveu:Então são 8 ternos? Já que cada incógnita pode ser positiva ou negativa.
Exemplificando: x+y+z = a ou b
Usando a como resultado:
x.(a) = 2005, x = 2005/a
y.(a) = 2006, y = 2006/a
z.(a) = 2007, z = 2007/a
Usando b como resultado:
x.(b) = 2005, x = 2005/b
y.(b) = 2006, y = 2006/b
z.(b) = 2007, z = 2007/b
Ou seja, existem apenas duas triplas ordenadas possíveis para (x,y,z).
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