(IME -2006)
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por Lua10 Qua 30 Set 2009, 18:01
Provar por indução que K3 + ( K +1)3 + ( K +2)3 é multiplo de 9.
Obrigado
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Lua10- Iniciante
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Localização : Salvador
Re: (IME -2006)
por Jose Carlos Sex 23 Out 2009, 16:41
Olá,
k³ + (k+1)³ + (k+2)³
k = 0 => 1 + 8 = 9
k = 1 => 1 + 8 + 27 = 36
...
...
k³ + (k+1)³ + (k+2)³ = k³ + ( k³ + 3k² + 3k + 1 ) + ( k³ + 4k² + 8k + 8 ) =
= 3k³ + 7k² + 11k + 9 (I)
testando para (k+1):
(k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³ = ( k³ + 3k² + 3k + 1 ) + ( k³ + 4k² + 8k + 8 ) + ( k³ + 9k² + 27k + 27 ) =
= 3k³ + 16k² + 38k + 36 (II)
De (II) e (I):
3k³ + 16k² + 38k + 36 = ( 3k³ + 7k² + 11k + 9 ) + ( 9k² + 27k + 27 )
daí: se (I) é divisível por 9 e ( 9k² + 27k + 27 ) possui todos os coeficientes divisíveis por 9 está comprovado.
Um abraço.
k³ + (k+1)³ + (k+2)³
k = 0 => 1 + 8 = 9
k = 1 => 1 + 8 + 27 = 36
...
...
k³ + (k+1)³ + (k+2)³ = k³ + ( k³ + 3k² + 3k + 1 ) + ( k³ + 4k² + 8k + 8 ) =
= 3k³ + 7k² + 11k + 9 (I)
testando para (k+1):
(k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³ = ( k³ + 3k² + 3k + 1 ) + ( k³ + 4k² + 8k + 8 ) + ( k³ + 9k² + 27k + 27 ) =
= 3k³ + 16k² + 38k + 36 (II)
De (II) e (I):
3k³ + 16k² + 38k + 36 = ( 3k³ + 7k² + 11k + 9 ) + ( 9k² + 27k + 27 )
daí: se (I) é divisível por 9 e ( 9k² + 27k + 27 ) possui todos os coeficientes divisíveis por 9 está comprovado.
Um abraço.
Jose Carlos- Grande Mestre
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