Geometria Espacial Iezzi - Prismas. Ex: 28

por ReplayBr Qui 19 Dez 2013, 10:27

A altura de um prisma regular Triangular mede 2√3 cm. A área total do prisma vale o dobro da área lateral. Determine o volume do prisma.

Estou com bastante dificuldade em geometria espacial, o que devo fazer?

Fiz assim:

HPrisma= 2√3
Al = 3a√3
At = 2 Al
AT= 3 . 2 . a . √3 = 6a√3
V = Ab. HPrisma

Cheguei nessa espressão:
6a√3 = (2a^2√3)/4 + 3a√3

Só queria saber se está certo eu chegar nessa fórmula, por que achei que a área do triângulo regular fosse a^2√3/4.

Obs: Pela pressa, acabei esquecendo de colocar um dado essencial a resolução do problema: é um prisma triangular.
Para evitar que isso aconteça novamente irei scanear e postar a foto da questão, dessa forma não irá prejudicar que for pesquisar a questão no fórum posteriormente.

por **Elcioschin** Qui 19 Dez 2013, 12:37

Sua área lateral está errada.
Você precisa saber primeiro qual é o tipo de base (triangular, quadrada, pentagonal, etc)

Seja n o número de lados da base. A área lateral vale Sl = n.a.2.√3

Para Sl = 2.Sb, a área da base tem que ter √3. Isto acontece se a base do prisma for hexagonal:

Sb = 6.(a².√3/4) ----> Sb = a².3√3/2

Sl = 2.Sb ----> 6.a.2.√3 = 2.(a².3.√3/2) ----> a = 4

Sb = 4².3.√3/2 ----> Sb = 24.√3

V = Sb.h ----> V = (24.√3).(2.√3) ---> V = 144

por ReplayBr Qui 19 Dez 2013, 14:38

Elcioschin, eu já fui avisado, mas por falta de atenção esqueci de postar o gabarito e vou tentar evitar outra vez, por isso vou postá-lo abaixo:
Obs: Estou utilizando o livro Matematica Volume Único Iezzi, algumas respostas podem estar erradas no gabarito oficial.
Resposta: 216cm^3

por vzz Sáb 21 Dez 2013, 04:42

Chamarei a aresta da base de ''a''
Área lateral: 3a√2
Área total: 6a√2

Como o prisma é triangular e regular a base é um triângulo equilátero.
Logo a área da base é: a2√3/4

2a²√3/4 + 3a√3 = 6a√3 Dividir a equação toda por √3 e simplificando.

a²/2+3a=6a

a²-6a=0

a(a-6)=0

Logo a=0 ou a=6

Como ''a'' é uma aresta, a=6cm

Volume=Ab*h

V=6²V3/4*2√3
V=36*3*2
V=216cm³