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Provas "por absurdo"

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Provas "por absurdo" Empty Provas "por absurdo"

Mensagem por Giiovanna Sab 07 Dez 2013, 19:57

Olá Smile 
                Neste tópico, vou expor algumas demonstrações feitas “por absurdo”, que foi uma das primeiras maneiras que eu aprendi a fazer demonstrações esse ano na faculdade. Além de objetivar o conhecimento da técnica, aos que gostariam de estudar matemática no futuro, vejamos um pouco mais da matemática "rigorosa" que será apresentada nos cursos, em geral.
                Para os que não conhecem esta técnica (que tem ideia muito simples), ela consiste no seguinte: Suponhamos que temos uma proposição P1 que queremos provar ser verdadeira. Então supomos, por absurdo, que P1 seja falsa e chegar a um absurdo, ou seja, algo como 1=0 ou em alguma coisa que já sabemos que não é verdade. Claramente não é tudo que pode ser demonstrado por absurdo, devemos tomar cuidado para aplicar essa técnica para mostrarmos fatos que são ou não verdadeiros, e que a sua não falsidade implica que este é verdadeiro.
                Certo, agora pode parecer um pouco confuso, mas vou mostrar alguns fatos básicos (e outros nem tanto) utilizando esta técnica e ficará mais claro. Vale ressaltar que demonstrações “por absurdo” ou “por contradição” são especialmente úteis quando queremos provar alguma coisa básica sem com que tenhamos muitas ferramentas ainda.
                Vale a pena, para o total entendimento do tópico, a introdução de algumas definições e axiomas que, geralmente, não são conhecidos por alunos de ensino médio, mas que serão facilmente entendidos.

 
Os axiomas de Peano:


Seja Provas "por absurdo" Gif um conjunto e Provas "por absurdo" Gif uma função tais que:


P1) A função s é injetiva. Ou seja, se Provas "por absurdo" Gif são tais que  Provas "por absurdo" Gif, então Provas "por absurdo" Gif
P2) Provas "por absurdo" Gif é um conjunto unitário, onde Provas "por absurdo" Gif denota o conjunto imagem de Provas "por absurdo" Gif. Diremos que Provas "por absurdo" Gif
P3) (Princípio de Indução) Se Provas "por absurdo" Gif é tal que
      a) Provas "por absurdo" Gif
      b) Provas "por absurdo" Gif
então Provas "por absurdo" Gif

Provas "por absurdo" Gif com essas características é dito um conjunto de números naturais e s é sua função sucessor

Bom, mostrar a existência de um conjunto que satisfaz essas características é um pouco mais difícil. Então vamos supor conhecido nosso conjunto de números naturais Provas "por absurdo" Gif , cujo menor elemento eu defini sendo 1. 

Números primos: Dizemos que Provas "por absurdo" Gif é um número primo quando Provas "por absurdo" Gif e Provas "por absurdo" Gif possui apenas dois divisores: Provas "por absurdo" Gif e ele mesmo.

Menor elemento: Seja Provas "por absurdo" Gif e Provas "por absurdo" Gif. Dizemos que Provas "por absurdo" Gif é o menor elemento (ou elemento mínimo) de Provas "por absurdo" Gif
quando Provas "por absurdo" Gif

Então vejamos algumas provas.

1. (Princípio da Boa Ordem)  Todo subconjunto não vazio de números naturais tem um menor elemento. 

Prova: Seja  Provas "por absurdo" Gif . Se Provas "por absurdo" GifProvas "por absurdo" Gif é o menor elemento de Provas "por absurdo" Gif e não há o que provar. 
Se não, considere o conjunto Provas "por absurdo" Gif, onde Provas "por absurdo" GifProvas "por absurdo" Gif, mas Provas "por absurdo" Gif pois Provas "por absurdo" Gif e, então,  Princípio de Indução , existe Provas "por absurdo" Gif  tal que Provas "por absurdo" Gif. Afirmamos que Provas "por absurdo" Gif (que vamos escrever, da forma convencional, como Provas "por absurdo" Gif ) é o menor elemento de Provas "por absurdo" Gif:

Com efeito, supondo, por absurdo, que  Provas "por absurdo" Gif não seja o menor elemento de Provas "por absurdo" Gif, existe, então,  Provas "por absurdo" Gif tal que Provas "por absurdo" Gif. Contradição, pois Provas "por absurdo" Gif.latex?1,&space;2,&space;.. e Provas "por absurdo" Gif. Portanto Provas "por absurdo" Gif tem um menor elemento.

Então, segue que qualquer subconjunto não vazio de números naturais tem um menor elemento.


Bom, pode parecer que esse é um Teorema um pouco bobo, mas ele é bem útil visto que vamos usá-lo para provar, utilizando a técnica acima, o princípio de indução de uma forma mais parecido com a que conhecemos!

Definição: Dizemos que um subconjunto ordenado de números naturais satisfaz o Princípio da Boa Ordem se todos os seus subconjuntos têm um menor elemento.

2. O 2º Princípio de Indução: Seja Provas "por absurdo" Gif ordenado (e não vazio) com a seguinte propriedade: Dado Provas "por absurdo" Gif, se Provas "por absurdo" Gif contém todos os números naturais m tais que Provas "por absurdo" Gif, então Provas "por absurdo" Gif. Nestas condições, Provas "por absurdo" Gif

Prova: Suponhamos, por absurdo, que Provas "por absurdo" Gif. Então, Provas "por absurdo" Gif e, pelo Princípio da Boa Ordem, Provas "por absurdo" Gif tem um menor elemento Provas "por absurdo" Gif. Daí, segue que que Provas "por absurdo" Gif.latex?1,&space;2,&space;.. pertencem à Provas "por absurdo" Gif e, por hipótese, Provas "por absurdo" Gif. Absurdo, pois Provas "por absurdo" Gif.
Portanto, Provas "por absurdo" Gif

 Bom, acredito que, agora, a ideia tenha ficado mais clara. Então vejamos mais algumas provas envolvendo outros temas. Esta é um clássico, provavelmente muitos já viram:

3. A irracionalidade de Provas "por absurdo" Gif: Provas "por absurdo" Gif é irracional

Definição(1): Chamamos de raiz quadrada de um número real x, e denotamos por Provas "por absurdo" Gif, o único número real tal que Provas "por absurdo" Gif

Definição(2): Dizemos que um número real Provas "por absurdo" Gif é racional quando existem Provas "por absurdo" Gif primos entre si tais que Provas "por absurdo" Gif. Caso contrário, dizemos que 
Provas "por absurdo" Gif é irracional.


Prova: Suponhamos, por absurdo, que Provas "por absurdo" Gif seja racional. Isto é, existem Provas "por absurdo" Gif primos entre si tais que Provas "por absurdo" Gif.Isto é, Provas "por absurdo" Gif.  Vamos supor, também, sem perda de generalidade, que Provas "por absurdo" Gif e Provas "por absurdo" Gif são positivos. Afirmamos que Provas "por absurdo" Gif deve ser um número par: De fato, se Provas "por absurdo" Gif fosse da forma Provas "por absurdo" Gif, então Provas "por absurdo" Gif é impar, mas, como vimos, Provas "por absurdo" Gif é par. Assim sendo, existe Provas "por absurdo" Gif tal que Provas "por absurdo" Gif. Portanto, Provas "por absurdo" Gif. De forma análoga a anterior, podemos concluir que Provas "por absurdo" Gif é par. Absurdo, pois Provas "por absurdo" Gif e Provas "por absurdo" Gif são primos entre si. Portanto, segue que Provas "por absurdo" Gif é irracional.

4. Decomposição de números naturais em fatores primos: Todo número natural ou é primo ou pode ser expresso como produto de fatores primos.

Prova: Seja Provas "por absurdo" Gif o conjunto dos números naturais não primos que não pode ser decomposto em fatores primos e suponhamos, por absurdo, Provas "por absurdo" Gif. Portanto, pelo Princípio da Boa OrdemProvas "por absurdo" Gif tem um menor elemento Provas "por absurdo" Gif. Como Provas "por absurdo" Gif não é primo, por hipótese, existem Provas "por absurdo" Gif tais que Provas "por absurdo" Gif e a diferente de Provas "por absurdo" Gif ou b diferente de Provas "por absurdo" Gif. Assim, teremos que Provas "por absurdo" Gif e Provas "por absurdo" Gif. Como Provas "por absurdo" Gif, existem Provas "por absurdo" Gif.latex?p_1,&space;.. e Provas "por absurdo" Gif.latex?p'_1,&space;.. primos tais que Provas "por absurdo" Gif.latex?a&space;=&space;p_1.p_2.&space;\;&space;.. e Provas "por absurdo" Gif.latex?b&space;=&space;p'_1.p'_2.&space;\;&space;.. ou a ou b são primos (e a prova segue análoga, claramente). Portanto, Provas "por absurdo" Gif.latex?n_o&space;=&space;p_1.&space;\;&space;...&space;\;&space;p_k.p'_1.&space;\;&space;...&space;\;&space; pode ser escrito como produto de fatores primos. Contradição.   Portanto, Provas "por absurdo" Gif e segue que todo número natural é primo ou pode ser decomposto em produto de fatores primos.

5. Infinitude dos números primos: (Euclides) Existem infinitos números primos

Prova: Seja Provas "por absurdo" Gif o conjunto dos números primos e suponhamos, por absurdo, que Provas "por absurdo" Gif seja finito. Então, Provas "por absurdo" Gif.latex?\mathbb{P}=\{p_1,&space;p_2,&space;... Sendo assim, considere o número Provas "por absurdo" Gif.latex?N&space;=&space;p_1.p_2.\;... Como Provas "por absurdo" Gif é finito, Provas "por absurdo" Gif não é primo. Daí, segue que Provas "por absurdo" Gif pode ser decomposto em fatores primos e, portanto, existe um Provas "por absurdo" Gif tal que Provas "por absurdo" Gif divide Provas "por absurdo" Gif. Mas Provas "por absurdo" Gif não é nenhum dos Provas "por absurdo" Gif, pois, se o fosse, deveríamos ter que Provas "por absurdo" Gif divide 1. Contradição. Portanto,  Provas "por absurdo" Gif é infinito.

Bom, é isso. Apresentei algumas provas básicas que podem ser feitas desta maneira e entendidas por todos. Até hoje, utilizo muito a técnica mesmo em proposições que tratam de coisas menos básicas e esta é, de fato, muito útil em algumas situações. O único "mal" que podemos notar é que conclui-se, no meio do caminho, um monte de coisas falsas e chegamos num absurdo, ou seja, tudo o que foi concluído antes é, de certa forma, inútil para ser aproveitado em outras situações. Mas, ainda sim, esta continua sendo uma "técnica" válida e bem importante de provarmos algumas coisas.

Até Smile

Algumas fontes importantes: 
[1] Um curso de Análise vol. 1 - Elon Lages Lima
[2] Proofs from the book - Aigner e Ziegler


Última edição por Giiovanna em Sab 07 Dez 2013, 20:21, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Euclides Sab 07 Dez 2013, 20:09

Bonito trabalho, Giiovanna, e muito útil também. Vou deixar como tópico fixo.

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O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
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Mensagem por Giiovanna Sab 07 Dez 2013, 20:26

Obrigada! Very Happy Se alguém tiver alguma dúvida ou quiser acrescentar alguma outra demonstração será bem vindo.
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Mensagem por Wilson Calvin Qui 12 Dez 2013, 20:40

Muito bom!
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