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Método de Redução ao Absurdo

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Resolvido Método de Redução ao Absurdo

Mensagem por mathscience123 Ter 21 Set 2021, 21:37

Mostrar que a equação x² + x + 1 = y² não tem soluções x, y inteiras positivas.

Como posso mostrar isso? Não tenho a mínima ideia sobre como chegar ao resultado.


Última edição por mathscience123 em Seg 18 Out 2021, 05:09, editado 1 vez(es)

mathscience123
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Resolvido Re: Método de Redução ao Absurdo

Mensagem por Edu lima Sex 24 Set 2021, 17:37

[latex]\frac{(x^{3}-1)}{(x-1)} = x^{2} + x + 1, x \neq 1 [/latex]


Hipótese é X diferente de 1, se furar isso, ou seja, x for igual a 1, aí estará provado por absurdo.


[latex]\frac{(x^{3}-1)}{(x-1)} - y^{2} = 0 \Rightarrow x^{3}*(1-y^{2})=(1-y^{2}) \Rightarrow x^{3}=1 \Rightarrow x=1[/latex]



Mas x não pode ser igual a 1, desse modo, por contrariar a hipótese, ele não é inteiro. E por consequência y tbm não é. Demonstrado por absurdo!


Acredito que seja isso. 

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Resolvido Re: Método de Redução ao Absurdo

Mensagem por SilverBladeII Seg 27 Set 2021, 19:17

Basta ver que
x²+x+1-y²=0, para ser inteiro o delta em x deve ser quadrado perfeito:
1²-4(1-y²)=4y²-3=n² -> (2y)²=n²+3
sendo y e n inteiros positivos, claro que 2y > n
e n²+3 < n²+4n+4 = (n+2)³
portanto 2y < n+2
assim, resta que 2y=n+1.
Mas então
(n+1)²=n²+3 -> n²+2n+1=n²+3 -> n=1 -> y=1
substituindo na eq original e resolvendo, temos que x=0 ou x=-1, nenhum dessa é positivo, portanto a  eq original n tem sol nos inteiros positivos.
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Resolvido Re: Método de Redução ao Absurdo

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