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Volume do Tetraedro

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Mensagem por amms Dom 17 Nov 2013, 13:52

Um tetraedro regular é inscrito numa esfera de 12 cm de diâmetro.Obtenha o volume do tetraedro.
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Volume do Tetraedro Empty Re: Volume do Tetraedro

Mensagem por 88sude Dom 17 Nov 2013, 14:52

existe uma fórmula que associa o raio da esfera com o volume do tetraedro, faz muito tempo que eu cheguei a vê-la ( e até então pensava que era inútil). Se não me engano é : Vol. = 8R3V3/33 = (8V3)x(R/3)3
Vol. = (8V3)x(6/3)3 = 8V3 x 8 
Vol. = 64V3 cm³
confere com o gabarito?
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Mensagem por amms Dom 17 Nov 2013, 21:52

Eu não detenho o gabarito ,mas eu fiz dessa maneira ,veja e me diga se aparenta estar correto por favor.
Eu fiz o centro da esfera coincidindo com o baricentro do tetraedro ,dessa forma poderemos usar a propriedade que divide a altura na razão 3/4.Ae fazendo uma semelhança  com a medida do raio e a altura é possivel encontrar o apótema da base do tetraedro. Ae dps com o apótema da base encontramos o lado do triângulo da base usando novamente o baricentro só que dessa vez da base do tetraedro.Ae com um lado conseguimos a altura pq a altura do tetraedro é igual lV6/3 .E a área da base é facil de achar pq é um triangulo equilatero..
O q vc acha??Ta certo ou errado??
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Mensagem por amms Qui 21 Nov 2013, 00:10

Agradeço pela ajuda, mas ja consegui resolve-la
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Mensagem por 88sude Sex 22 Nov 2013, 09:32

Desculpe pela demora, andei meio ocupado ultimamente ! Mas sim , creio que seja isso mesmo, poste se possível a resolução aqui, e aproveitando que você conseguiu resolve-la , estaria minha resposta correta? (faz muito tempo que não vejo essa fórmula, queria conferir xD)
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Mensagem por spawnftw Ter 18 Mar 2014, 04:20

achei mesma coisa do 88sude, porém o gabarito informa 96sqrt2 cm³, mas eu acho que ta errado esse gab
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Mensagem por Victor Luz Qui 25 Jan 2018, 19:03

amms escreveu:Eu não detenho o gabarito ,mas eu fiz dessa maneira ,veja e me diga se aparenta estar correto por favor.
Eu fiz o centro da esfera coincidindo com o baricentro do tetraedro ,dessa forma poderemos usar a propriedade que divide a altura na razão 3/4.Ae fazendo uma semelhança  com a medida do raio e a altura é possivel encontrar o apótema da base do tetraedro. Ae dps com o apótema da base encontramos o lado do triângulo da base usando novamente o baricentro só que dessa vez da base do tetraedro.Ae com um lado conseguimos a altura pq a altura do tetraedro é igual lV6/3 .E a área da base é facil de achar pq é um triangulo equilatero..
O q vc acha??Ta certo ou errado??

O raciocínio está correto, porém, constatei que por esse raciocínio o valor resultante também será 64√3.

Como a  esfera está circunscrita no tetraedro, o raio se relaciona com a aresta da seguinte maneira:R=(a√6)/4

Mas pelo enunciado, r= 6. Então a= 4√6 -->AB = (a²√3)/4 --> AB=[(4√6)²√3]/4 --> AB= 96.√3/4 ---> AB= 24√3


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A altura do tetraedro se dá pelo teorema de pitágoras entre 2/3 da altura do triangulo equilátero, a aresta do tetraedro e a altura H do tetraedro, que é o que queremos encontrar.

H= a√6/3 ---> H= (4√6).(√6)/3 ---> H= 8

Assim, vol = AB.H/3 ---> (24√3.8 ) /3 ---> 64√3 cm³





No livro que estou usando o gabarito diz 96√2, porém conforme os amigos acima já conferiram, o gabarito do livro não confere.
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