volume do tetraedro

calculei V1 pela formula :a³√2 /12. Agora como faço para calcular x2 que é o lado do segundo tetraedro?

V1=
Raiz quadrada de dois /12
De vocês também deu isso?

Para calcular o lado do 2º tetraedro

Seja M o ponto médio de BC ---> BM = CM = 1/2. Trace MH

DB² = BM² + DM² ---> 1² = (1/2)² +  DM² ---> DM = √3/2

G e H são baricentros GM = HM = DM/3 = √3/6

cosH^MD = HM/DM ---> cosH^MD = (√3/6)/(√3/2) ---> cosH^MD = 1/3

H^MG = H^MD ---> cosH^MG = 1/3

Lei dos cossenos no triângulo GMH:

GH² = GM² + HM² - 2.GM.HM.cosH^MG --->

GH² = (√3/6)² + (√3/6)²  - 2.(√3/6)².(1/3)

GH² = 3/36 + 3/36 - 2.(3/36).(1/3)

GH = 1/3

Note que o lado do 2º tetraedro é 1/3 do tetraedro original
E assim por diante, o lado do 3º tetraedro será 1/9 do original
Temos portanto uma PG de razão q = 1/3

Vou partir do pressuposto de que a pessoa a resolver essa questão não sabe qual o volume de um tetraedro, nem a área e a altura de um triângulo equilátero. Demonstradas todas essas equações passarei à resolução da questão.


Sabendo que todo tetraedro é uma pirâmide, tem-se que seu volume será 1/3 do volume de um paralelepípedo:

V = A_base.H/3   (I)


Inicialmente descobrir-se-á a área da base A_base do tetraedro; depois sua altura H. Como o tetraedro é formado por quatro triângulos equiláteros de lado L e altura h tem-se:

A_base = Lh/2   (II)

Para a altura h do triângulo analise a figura abaixo:

Aplicando Pitágoras tem-se: L² = h² + (L/2)² ---> h² = L² - L²/4 = 3L²/4 ---> h = L√(3)/2   (III)

Fazendo (III) em (II): A_base = L²√(3)/4   (IV)

Retornando em (I): V = HL²√(3)/12   (V)


Agora basta descobrir a altura H do tetraedro. Para isso analise a figura abaixo:

Repare que a medida do segmento de reta que vai do vértice ao centro da base do tetraedro mede 2/3 da altura do triângulo equilatero, visto que o baricentro divide as medianas nas proporções 1:3 e 2:3; assim, seu comprimento a é: a = (2/3)(L√(3)/2) = L√(3)/3 Realizando Pitágoras no triângulo, por fim, tem-se: L² = (L√(3)/3)² + H² ---> H² = L² - 3L²/9 = 2L²/3 ---> H = L√(2/3) = L√(6)/3   (VI)

Retornando em (V) obtém-se o volume do tetraedro: V = L³√(6)√(3)/36 = L³√(18)/36 = 3L³√(2)/36 = L³√(2)/12   (VII)


Agora pode-se iniciar a questão.


Obtendo o volume V₁ requisitado pelo enunciado através de (VII): V₁ = √(2)/12


Para os outros requisitos será necessário descobrir o lado do segundo tetraedro. Para isso, antes de iniciar os cálculos explicarei a lógica por trás deles, chamando de M o ponto médio de BC.

Repare que G e H são centros do triângulo equilátero (e, portanto, baricentros, circuncentros, incentros e ortocentros); pela propriedade do baricentro dividir a mediana (nesse caso a altura, já que medianas e alturas são coincidentes no triângulo equilátero) nas proporções 1:3 para 2:3, nota-se que o segmento de reta MG é 1/3 do segmento DG, assim como MH é 1/3 do segmento MA. Pois então, calcular-se-á DM (que é congruente a AM), descobrir-se-á MH (que é congruente a MG) e, através disso, o cosseno de H^MD (que é congruente a H^MG), como forma de utilizar Lei dos Cossenos no triângulo HMG para obter GH (lado do tetraedro inscrito).

DM é a altura do triângulo equilátero BCD, e calculamos acima que a altura de um triângulo equilátero de lado L é L√(3)/2 (através da equação (III)). Então, como L = 1:

DM = AM = L√(3)/2 = √(3)/2

Portanto:

GM = HM = (1/3)(√(3)/2) = √(3)/6

Calculando o cosseno de H^MD:

cosH^MD = cosH^MG = (√(3)/6)/(√(3)/2) = 2/6 = 1/3

Aplicando Lei dos Cossenos no triângulo HMG:



Como HG é a medida do lado do primeiro tetraedro inscrito, pode-se dizer que: x₂ = 1/3


A próxima requisição do enunciado é o volume V₂; para isso, se retornará à equação (VII): V₂ = (1/3)³(√(2)/12) -----> V₂ = √(2)/324


Agora é pedido o volume V₁₀; para isso, basta notar que os lados dos triângulos inscritos estão em Progressão Geométrica de razão 1/3. Pelos conhecimentos de Sequências tem-se:

a_n = a₁.q^{n - 1} = 1/3^{n - 1}   (VIII)

Deseja-se o lado do décimo triângulo, então, por (VIII):

a₁₀ = 1.(1/3)^{10 - 1} = 1/3⁹ = 1/19683

Retornando em (VII) descobre-se seu volume: V₁₀ = (√2/12)(1/19683)³


Por fim é requisitado o volume do i-ésimo tetraedro inscrito; para isso basta aplicar a equação (VIII) em (VII): V_i = (√2/12)(1/3^{i - 1})³ ---> V_i = √2/(12.3^{3i -3})

na lei dos cossenos o resultado de gh não seria raiz de 1/3?