Volume de tetraedro

por **Eduardo Sicale** Qui 18 Nov 2010, 15:54

Os vértices de um tetraedro regular de volume 1 m³ são centros das faces de outro tetraedro regular. O volume desse outro tetraedro vale:

Resposta: 27 m³

Obrigado !!!

por **adriano tavares** Sex 19 Nov 2010, 14:57

Olá, Eduardo Sicale.

Volume de tetraedro Tetraedroregular

O ponto P é o baricentro da face lateral que é um triângulo equilátero.

$PM=\frac{1}{3}VM \Rightarrow PM=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow PM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Como os triângulos VOM e PBM são semelhantes a altura do tetraedro será:

$h=\frac{1}{3}H$

A altura do tetraedro regular e o volume é dado por:

$H=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

$V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

$h=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{6}}{9}$ (I)

$h=\frac{a'\sqrt{6}}{3}$ (II)

Igualando (I) e (II) teremos:

$\frac{a'\sqrt{6}}{3}=\frac{a\sqrt{6}}{9}\Rightarrow a=3a'$

$V'=\frac{a'^3\sqrt{2}}{12}\Rightarrow 1=\frac{a'^3\sqrt{2}}{12}$

Calculando o valor de V teremos:

$V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\Rightarrow V=\frac{27a'^3\sqrt{2}}{12}\Rightarrow V=27\tex{m^3}$

Volume de tetraedro

Volume de tetraedro

Volume do tetraedro

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