Números complexos
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Números complexos
por Bruno N Delgado Qui 14 Nov 2013, 00:07
A expressão (√2/2 + √2i/2)^109 (elevado a 109)
Onde i é a unidade imaginária dos complexos, é igual a:
GAB: - √2/2 - √2i/2
Onde i é a unidade imaginária dos complexos, é igual a:
GAB: - √2/2 - √2i/2
Bruno N Delgado- Recebeu o sabre de luz
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Re: Números complexos
por Wilson Calvin Qui 14 Nov 2013, 00:34
escrevendo na forma trigonométrica
z = √(2/2) + √(2i/2)
z = p(cosθ + isenθ). Desenhando o plano de Argand-Gauss. e Calculando o ângulo do afixo.
p = √(a² + b²) --> √[(√2/2)² + √(2/2)²] ---> p = 1
tgθ = 1 ---> θ = pi/4
Passando z para a forma de potência.
z^n = p^(n).[cos(nθ) + isen(nθ)] ;∀ n ∈ ℝ onde n = 109
z^109 = 1^109{cos[109.(pi/4)] + isen[109.(pi/4)]} (I)
Agora vamos analisar o ângulo de sen e cos. Agora é trigonometria.
109.(Pi/4) vamos descobrir seu côngruo.
2pi = 8(Pi/4) ---> fixando pi/4 e realizando a divisão 109/8 temos resto 5. Logo 5(Pi/4) é seu côngruo.
Reescrevendo a equação I:
z^109 = {cos[5(pi/4)] + isen[5(pi/4)]
z^109 = -√2/2 -√2i/2
z = √(2/2) + √(2i/2)
z = p(cosθ + isenθ). Desenhando o plano de Argand-Gauss. e Calculando o ângulo do afixo.
p = √(a² + b²) --> √[(√2/2)² + √(2/2)²] ---> p = 1
tgθ = 1 ---> θ = pi/4
Passando z para a forma de potência.
z^n = p^(n).[cos(nθ) + isen(nθ)] ;∀ n ∈ ℝ onde n = 109
z^109 = 1^109{cos[109.(pi/4)] + isen[109.(pi/4)]} (I)
Agora vamos analisar o ângulo de sen e cos. Agora é trigonometria.
109.(Pi/4) vamos descobrir seu côngruo.
2pi = 8(Pi/4) ---> fixando pi/4 e realizando a divisão 109/8 temos resto 5. Logo 5(Pi/4) é seu côngruo.
Reescrevendo a equação I:
z^109 = {cos[5(pi/4)] + isen[5(pi/4)]
z^109 = -√2/2 -√2i/2
Wilson Calvin- Matador
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Re: Números complexos
por PedroCunha Qui 14 Nov 2013, 00:59
Devemos colocar esse número na forma trigonométrica, de forma a podermos aplicar a Primeira Lei de Moivre.
I) Encontrando o módulo do número:
p = √([(√2/2]² + [√2/2]²)
p = √([1/2] + [1/2])
p = 1
Portanto, o número, na forma polar , fica:
z = 1 * (cos pi/4 + isen pi/4)
Aplicando a Primeira Lei de Moivre, temos:
z^{109} = 1^{109} * (cos 109pi/4 + isen(109pi/4))
z^{109} = 1 * ( cos 5pi/4 + isen 5pi/4)
z^{109} = 1 * (-√2/2 + (-√2i/2))
z^{109} = -√2/2 - √2i/2
É isso.
Att.,
Pedro
I) Encontrando o módulo do número:
p = √([(√2/2]² + [√2/2]²)
p = √([1/2] + [1/2])
p = 1
Portanto, o número, na forma polar , fica:
z = 1 * (cos pi/4 + isen pi/4)
Aplicando a Primeira Lei de Moivre, temos:
z^{109} = 1^{109} * (cos 109pi/4 + isen(109pi/4))
z^{109} = 1 * ( cos 5pi/4 + isen 5pi/4)
z^{109} = 1 * (-√2/2 + (-√2i/2))
z^{109} = -√2/2 - √2i/2
É isso.
Att.,
Pedro
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Re: Números complexos
por Bruno N Delgado Qui 14 Nov 2013, 21:19
Você pode explicar melhor esse lance de achar o congruo?
Bruno N Delgado- Recebeu o sabre de luz
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Re: Números complexos
por Wilson Calvin Sex 15 Nov 2013, 01:26
são ângulos grandes, nos quais você pode retirar os múltiplos de 2Pi sem alterar o resultado.
Por exemplo se tenho um ângulo 50(pi/3)
você escreve 2pi com o mesmo denominador. Que no caso do nosso exemplo é 3.
2pi = 6(pi/3). Agora você esquece o (pi/3)
divide 50 por 6, o resto dessa divisão euclidiana, você multiplica o pi/3
espero ter ajudado.
Por exemplo se tenho um ângulo 50(pi/3)
você escreve 2pi com o mesmo denominador. Que no caso do nosso exemplo é 3.
2pi = 6(pi/3). Agora você esquece o (pi/3)
divide 50 por 6, o resto dessa divisão euclidiana, você multiplica o pi/3
espero ter ajudado.
Wilson Calvin- Matador
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