Números Complexos

por jr.macedo93 Qui 09 Jul 2015, 20:17

Os números complexos Z1, Z2, ..., Zn têm módulos iguais e constituem no plano complexo os vértices de um polígono regular.

Se Z1 for real positivo, então o produto Z1.Z2. ... .Zn será:

A) real, se n for ímpar, e imaginário se n for par.
B) imaginário, se n for ímpar, e real se n for par.
C) real negativo, se n for ímpar, e positivo se n for par.
D) real positivo, se n for ímpar, e negativo se n for par.
E) real, sendo que seu sinal independe de n ser par ou ímpar.

por **Carlos Adir** Qui 09 Jul 2015, 21:33

Se temos os números complexos, z_1, z_2, z_3, ..., z_n tal que tenham o mesmo módulo e são vértices de um poligono regular. E seja o número real z, tal que |z|=|z_1|=|z_2|=...=|z_3|, então:
$\\ \mathrm{z_1 = z \left(cos \ \theta + i \cdot sen \ \theta \right )} \\ \mathrm{z_2= z \left(cos \ 2\theta + i \cdot sen \ 2\theta \right )} \\ \mathrm{z_3=z \left(cos \ 3 \theta + i \cdot sen \ 3 \theta \right )} \\ \mathrm{\cdots} \\ \mathrm{z_n = z \left(cos \ n\theta + i \cdot sen \ n \theta \right )}$
Quando multiplicamos os complexos:
$\\ \mathrm{z_1z_2 \cdots z_n=z^{n} \left[cos \left(\theta+2\theta+\cdots + n\theta \right )+i \cdot sen \left(\theta+2\theta+\cdots + n\theta \right ) \right ]} \\ \mathrm{z_1z_2 \cdots z_n=z^{n} \left[cos \dfrac{n(n+1)}{2}\theta + i \cdot sen \dfrac{n(n+1)}{2}\theta \right ]}$
Ora, mas temos que θ=(2pi)/n, então:
$\\ \mathrm{z_1z_2 \cdots z_n=z^{n} \left[cos \dfrac{n(n+1)}{2}\theta + i \cdot sen \dfrac{n(n+1)}{2}\theta \right ]} \\ \mathrm{z_1z_2\cdots z_n = z^{n} \left[cos \dfrac{n(n+1)}{2} \cdot \dfrac{2\pi}{n} + i \cdot sen \dfrac{n(n+1)}{2} \cdot \dfrac{2\pi}{n} \right ]} \\ \\ \mathrm{z_1z_2\cdots z_n = z^{n} \left[cos \left(\pi(n+1) \right ) + i \cdot sen \left(\pi (n+1) \right ) \right ]}$

Logo, podemos perceber que independente de n, sempre será um valor real. O que interfere o valor de n é simplesmente o valor do cosseno, que faz com que o número seja positivo ou negativo.
Logo, se n for par, teremos que o produto seja negativo, e se n for impar, então o produto será positivo.
D)

por jr.macedo93 Qui 09 Jul 2015, 21:57

Obrigado!!!

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