Mediatriz

No triângulo ABC a reta mediatriz do lado AB tem equação x +y -4= 0 e a reta mediatriz do 
lado AC tem equação x -2y +6= 0. Sendo A(1,1), dê as coordenadas dos vértices B e C.

Gabarito: x+5y-14=0

Olá Glaauh,

Você confirma o gabarito da questão ? Se ele pede os vértices porque apresenta a equação de uma reta?


Obrigado.

Pessoal, poderiam ver o que há de errado na minha resolução? É algum conceito ou foi na conta mesmo? Fiz duas vezes e não cheguei na resposta

O gabarito dessa questão é B: (3,3) e C: (1,5)



A resolução do livro utiliza propriedades da circunferência inscrita no triângulo e a distância entre seu centro e os lados.

Para o vértice C encontrei C=(-1, 5) igual você.
Já para o vértice B encontrei B=(3, 3) conforme gabarito.
Então vejamos o vértice B.

reta r: x + y - 4 = 0 ---->  m = -1
A reta AB é perpendicular a r (mediatriz), então AB tem m = 1. Vértice A pertence a AB.
eq. de AB: y - 1 = 1.(x - 1)  ----->  y = x

Seja Q = ponto médio de AB. Q é interseção de AB com r.
x = -x + 4  --->  x = 2  --->  y = 2  ----->  Q = (2, 2)

vetor AQ = Q - A = (1, 1)
B = Q + AQ  ----->  B = (1, 1) + (2, 2)  ----->  B=(3, 3)

A resolução do livro utiliza propriedades da circunferência inscrita no triângulo e a distância entre seu centro e os lados.

O que o livro deve usar é a circunferência circunscrita ao triângulo e a distância do centro aos vértices.
O centro da circunferência é a interseção das duas mediatrizes, ou seja, o ponto P=(2/3, 10/3).
A distância deste ponto aos vértices é o raio da circunferência.
R = PA = 5√2/3
Obtendo a eq. de AB (y = x), temos as coordenadas de B=(x, x). Calculando a distância PB = R, obtemos o ponto B.
Analogamente encontra-se as coordenadas de C.