Mediatriz.

por William Carlos Qui 11 Abr 2013, 17:02

Sejam A = (1,3) e B=(5,7). Prove que o ponto P = (x,y) pertence a mediatriz do segmento AB se, e somente se, x+y=8. A partir dai,ache as coordenadas de um ponto C tal que o triangulo ABC seja equilatero.

por **Jose Carlos** Seg 15 Abr 2013, 16:07

- reta (s) que passa por A e B:

(y-3)/(7-3) = (x-1)/(5-1)

y = x + 2 -> coeficiente angular -> m = 1

- ponto médio de AB:

xM = 3

yM = 5

M( 3,5 )

- reta perpendicular a (s) por M:

y - 5= - 1*( x - 3 )

y = - x + 8 -> x + y = 8

- distância AB:

d²(A,B) = (5-1)² + (7-3)² = 32

d(A,B) = 4\/2

- altura do triângulo -> h = 2\/6

- circunferência de centro M(3,5) e raio = 2\/6

(x-3)² + (y-5)² = 24

x² + y² - 6x - 10y + 10 = 0

- interseção da reta y = - x + 8 com circunferência:

x² + ( - x + 8 )² - 6x - 10*( -x+8 ) + 10 = 0

x² - 6x - 3 = 0

raízes:

x = 3 + 2*\/3 -> y = 5 - 2\/3

ou

x = 3 - 2*\/3 -> y = 8 - 3 + 2 \/ 3-> y = 5 + 2\/3

C( 3 + 2\/3 , 5 - 2\/3 )

C'( 3 - 2\/3 , 5 + 2\/3 )

Por gentileza confira cálculos e gabarito.

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