GEOMETRIA PLANA -RETANGULO

Na Figura mostrada temos o retângulo ABCD. Se CP=8, DP=4
e EF=6, então podemos concluir que AD é:


link da imagem :

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/405/ocmo.jpg/


ou

https://2img.net/h/oi44.tinypic.com/kclzbo.jpg

gabarito : 43/3

Proponho fazer por Geometria Analítica

AD = a

A(0, 0) é a origem dos eixos ----> B(, 0 12), C(a, 12), D(a, 0), P(a, 4), Q(b, 0)

Reta AC ----> y - 0 = (12/a).(x - 0)  ----> y= (12/a).x

Reta BP ----> y - 12 = (-8/a).(x - 0) ----> y = - (8/a.)x + 12 ----> (8/a).x + y - 12 = 0

Ponto E ----> (12/a).xE = (-8/a).xE + 12 ----> (20/a).xE = 12 ----> xE = 3a/5

yE = (12/a).(3a/5) ----> yE = 36/5 -----> E(3a/5, 36/5)

Reta PQ ----> y - 4 = [4/(a - b)].(x - 0) ----> [4/(a - b)].x - y+ 4 = 0

Calcule a distância do ponto E à reta PQ e igual a 6

Tente continuar

Igualando fica 6= [4x/(a-b) + 4y]\sqrt(4/a-b)^2 +4^2)
Travei ai tambem!

Observe que o triângulo ABE é semelhante ao triângulo CPE. A razão de semelhança é dada por k = 12/8 -> K = 3/2. Logo, temos que o segmento BE = 3/2EP.
Chamando a medida de EP = x, temos que BE + EP = (3/2)x + x -> BP = (5/2)x.
Temos que o triângulo BQP é semelhante ao triângulo EFP. Observe que k = (5/2)x/x -> k = 5/2. Concluímos então que BQ = (5/2)EF - > BQ = (5/2) * 6 -> BQ = 15 cm.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo BAQ temos
BQ² = 12² + AQ² -> 15² = 12² + AQ² -> AQ = 9cm.
Fazendo agora QF = m e FP = n. Como visto anteriormente, a razão de semelhança entre o triângulo BQP e o triângulo EFP é k = 5/2, então m + n = (5/2)n   (***)
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo BPC:
(3/2x + x)² = 8² + (9 + QD)²
(25/4)x² = 64 + (9 + QD)² (Equação 1)
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo EFP
x² = 6² + n²  -> x² = 36 + n² (Equação 2)
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo QPD
QP² = QD² + 16 -> (m + n)² = QD² + 16
Substituindo a relação (***) acima temos
(5/2n)² = QD² + 16 -> (25/4)n² = QD² + 16 (Equação 3)
Substituindo a equação 2 na Equação 1, temos
25/4(36 + n²) = 64 + (9 + QD)²
225 + 25/4n² = 64 + (9 + QD)² (Equação 4)
Substituindo (25/4)n² da Equação 4 pelo resultado da Equação 3, temos
225 – 64 + 16 + QD² = 81 + 18QD + QD² ->
177 = 81 + 18QD ->
QD = 16/3
Logo, AD = AQ + QD ->
AD = 9 + 16/3
AD = 43/3

OBS: Na sexta linha contando de baixo para cima, houve um erro de digitação. A expressão correta é
225 – 64 + 16 + QD² = 81 + 18QD + QD² ->

Abs

Professor Jazz

Editei sua mensagem corrigindo o erro de digitação

Obrigado, Elcio.