Geometria Plana retângulo

por maiarads Seg 09 Set 2019, 19:41

O retângulo $Geometria Plana retângulo Mimetex_$ está inscrito no retângulo $Geometria Plana retângulo Mimetex_$ como mostra a figura:
Geometria Plana retângulo File

Sabendo que AB=2 e AD=1, determine o ângulo θ para que a área de WXYZ seja a maior possível

por **Elcioschin** Seg 09 Set 2019, 22:29

Os 4 triângulos retângulos são semelhantes, isto é, todos tem um ângulo θ

AX = AB.cosθ ---> AX = 2.cosθ = CZ

BX = AB.senθ ---> BX = 2.senθ = DZ

DW = AD.cosθ ---> DW = 1.cosθ = BY

AW = AD.senθ ---> AW = 1.senθ = CY

S(XYWZ) = WX.WZ = (AW + AX).(DW + DZ) = (1.senθ + 2.cosθ).(1.cosθ + 2.senθ) --->

S(XYWZ) = senθ.cosθ + 4.senθ.cosθ + 2.sen²θ + 2.cos²θ

S(XYWZ) = 5.senθ.cosθ + 2.(sen²θ + cos²θ)

S(XYWZ) = (5/2).(2.senθ.cosθ + 2.1

S(XYWZ) = (5/2).sen(2θ) + 2

Para S(XYWZ) ser máxima ---> sen(2.θ) = 1 ---> 2.θ = 90º ---> θ = 45º

por maiarads Ter 10 Set 2019, 16:50

Poderia me dizer como soube que todos os retângulos tem o ângulo θ em comum?

por **Rory Gilmore** Ter 10 Set 2019, 17:35

Por soma de ângulos, por exemplo:
No triângulo retângulo WAD a med(WÂD) = 180 - 90 - θ = 90 - θ

No mesmo triângulo, med(WÂD) + med(WDA) = 90

med(WDA) + 90 - θ = 90
med(WDA) = θ