Geometria Plana - Triângulo Retângulo

(FGV) A figura abaixo mostra o quadrado ABCD de lado 1 e o triângulo equilátero AMN. Calcule o comprimento do lado do triângulo AMN.

Os triângulos ABM e ADN são congruentes pelo caso especial de triângulos retângulos (Hipotenusas iguais e um cateto igual). Portanto, se DN = x, BM = x. Consequentemente NC = CM = 1 - x. Como o triângulo MNC é retângulo e isósceles, sua hipotenusa L vale (1 - x)√2, portanto:

L = (1 - x)√2 (I)  --> L² = 2(1 - x)² (II)

Observe ainda que em (I) concluímos que 1 - x deve ser > 0, afinal, L não pode ser negativo, então x < 1.

Do triângulo ADN tiramos o teorema de Pitágoras:

1² + x² = L² (III)

Substituindo II em III:

2(1 - x)² = 1 + x²

2 - 4x + 2x² = 1 + x²

x² - 4x + 1 = 0

x = ( 4 ± √12 ) / 2, como x < 1, x = ( 4 - √12 ) / 2

Substituindo x em (I):

L = (1 - x)√2 = ( 1 + ( √12 - 4 ) / 2 )√2

L = ( ( √12 - 2 ) / 2 )√2

L = ( √24 - 2√2 ) / 2

L = ( 2√6 - 2√2 ) / 2

L = √6 - √2 = √2( √3 - 1 )

Como não sei o gabarito fica por isso mesmo kk. É importante notar que essa questão é do ensino fundamental, não do médio. Além disso, poderia-se fazer a questão de forma mais fácil utilizando cos(15) ou sen(75), porém preferi fazer a resolução sem usar. Mas seria possível:

sen(75) = sen(30 + 45) = sen(30) cos(45) + sen(45) cos(30) = 1 / 2  *  √2 / 2  +  √2 / 2  *  √3 / 2 = √2 / 4  +  √6 / 4 = ( √2 + √6 ) / 4

sen(75) = 1 / L = ( √2 + √6 ) / 4

L = 4 / ( √2 + √6 ) = 4 ( √2 - √6 ) / 2 - 6 = - ( √2 - √6 ) = √6 - √2