Soma de cossenos

Determinar o valor de 
cos (2π/(2n+1)) + cos(4π/(2n+1)) + cos(6π/(2n+1)) + ... + cos(2nπ/(2n+1))

Spoiler:

Boa questão!

Resolução:

Para facilitar a visualização, façamos a transformação  (2.pi)/(2.n + 1) = θ.

Denotando a soma pedida por S, tem-se:
S = cos(θ) + cos(2.θ) + ... + cos(n.θ).

Tentemos, agora, calcular S' = cis(θ) + cis(2.θ) + ... + cis(n.θ) -> (*).

Para isso, usarei a 'Identidade de Euler' (se você quiser eu demonstro):
cis(θ) = e^(i.θ).

Assim, pode-se escrever S' da seguinte forma:
S' = e^(i.θ)  +  e^(2.i.θ) + ... + e^(n.i.θ).

Se você está atento, percebeu que S' é a soma dos termos da seguinte P.G:
{e^(i.θ) , e^(2.i.θ) , ... , e^(n.i.θ)} de razão q = a[1] = e^(i.θ).

Assim: S' = (e^(i.θ).[e^(n.i.θ) - 1])/[e^(i.θ) - 1].

Voltando para a forma trigonométrica:
S' = [cis(θ).(cis(n.θ) - 1)]/(cis(θ) - 1) -> (eq1).

Agora, escreverei j = cis(θ) - 1 de outra forma.

-j = 1 - cis(θ) = 1 - cos(θ) - i.sen(θ).
Mas: 1 - cos(θ) = 2.sen²(θ/2)  e  sen(θ) = 2.sen(θ/2).cos(θ/2), então:
-j = 2.sen²(θ/2) - 2.i.sen²(θ/2) = 2.sen(θ/2).[sen(θ/2) - i.cos(θ/2)].

Multiplicando ambos os membros por i.(-i) = 1, vem:
-j = -2.i.sen(θ/2).[cos(θ/2) + i.sen(θ/2)] <=> -j = -2.i.sen(θ/2).cis(θ/2) <=> j = 2.i.sen(θ/2).cis(θ/2).

Do mesmo modo, j' = cis(n.θ) - 1 = 2.i.sen[(n.θ)/2].cis[(n.θ)/2].

Substituindo j  e  j'  em (eq1) e simplificando, vem:
S' = [sen[(n.θ)/2]/sen(θ/2)].[(cis(θ).cis[(n.θ)/2])/cis(θ/2)] -> (eq2).

Usando, novamente, a 'Identidade de Euler', vem:
cis(θ) = e^(i.θ) ,  cis[(n.θ)/2] = e^[(i.n.θ)/2]    e   cis(θ/2) = e^[(i.θ)/2].

Substituindo todas as igualdades acima, realizando as devidas simplificações algébricas e voltando para a forma trigonométrica, vem:
S' = [sen[(n.θ)/2]/sen(θ/2)].[cis[(θ.(n + 1))/2]] <=>
<=> S' =  [[sen[(n.θ)/2]/sen(θ/2)].[cos[(θ.(n + 1))/2]]] + i.[[sen[(n.θ)/2]/sen(θ/2)].[sen[(θ.(n + 1))/2] -> (eq3).

Mas, de (*), tem-se: S' = (cos(θ) + cos(2.θ) + ... + cos(n.θ)) + i.(sen(θ) + sen(2.θ) + ... + sen(n.θ)).

Comparando a equação acima com (eq3), vem:
S = cos(θ) + cos(2.θ) + ... + cos(n.θ) = [sen[(n.θ)/2]/sen(θ/2)].[cos[(θ.(n + 1))/2]] -> (eq4).

Confesso que se não fosse o gabarito teria parado em (eq4), mas, depois de vê-lo, consegui reduzir até a resposta desejada.

Para isso, basta lembrar que: sen(a).cos(b) = (1/2).[sen(a + b) + sen(a - b)] -> (eq5).

Fazendo a = (n.θ)/2 e b = (θ.(n + 1))/2 em (eq5), vem:
S = sen[(n.θ)/2].[cos[(θ.(n + 1))/2]/sen(pi/(2.n + 1)) = (1/2).[sen(pi) + sen(-pi/(2.n + 1))]/sen(pi/(2.n + 1)) <=>
<=> S = (1/2).[sen(-pi/(2.n + 1))/sen(pi/(2.n + 1))].

Lembrando que sen(-x) = -sen(x), vem: S = -1/2.

Linda resolução, João!

Boa solução Joao.. Outro modo:
S = cos(θ) + cos(2θ) + ... + cos(nθ)
2Ssen(θ/2) = 2cosθsen(θ/2) + 2cos(2θ)sen(θ/2) 2 cos(3θ)sen(θ/2) + ... + 2cos(nθ)sen(θ/2)
transformação de produto em soma: 2senacosb = sen(a+b) - sen(a-b)
2Ssen(θ/2) = sen(3θ/2) - sen(θ/2) + sen(5θ/2) - sen(3θ/2) + sen(7θ/2) - sen(5θ/2) + ... + sen(nθ +(θ/2)) - sen(nθ - (θ/2))
temos uma soma telescópica:
2Ssen(θ/2) = sen(nθ +(θ/2) ) - sen(θ/2)
subsituindo θ :
2Ssen(pi/(n+1)) = sen(pi) - sen(pi/(n+1)
S = -1/2

obs. sempre que tiver soma de senos ou cossenos com ângulos em PA, é útil essa idéia de multiplicar pelo seno da metade da razão que vai 'forçar' aparecer uma soma telescópica..

(Linda resolução)², Luck!