Geometria Analítica - Retas

por alexiadb Seg 02 Set 2013, 16:07

No plano cartesiano, o ponto A = (1, 11) é vértice do quadrado ABCD, cuja diagonal BD está sobre a reta de equação (1/2)x + 3.
Considerando essas informações, determine:

a) as coordenadas do centro M do quadrado ABCD
b) as coordenadas do vértice C
c) as coordenadas dos vértices B e D

Como resolver?

por gabriel23 Seg 02 Set 2013, 16:52

a) Distância do ponto à reta = distância do ponto ao centro do quadrado.

Dp-r = |aX + bY + C/√a² + b²|
Dp-r = |1/2 - 11 + 3/√1/4 + 1| = 3√5

(x - 1)² + (y - 11)² = (3√5)²
x² + y² - 2x - 22y + 77 = 0

Como o centro também faz parte da reta em questão, as coordenadas do centro vão ser a intersecção entre a equação da reta e da equação que passa pelo ponto A e pelo centro (a que eu calculei anteriormente).

x² + y² - 2x - 22y + 77 = 0
x/2 - y + 3 = 0

x² + (x/2 + 3)² - 2x - 22 (x/2 + 3) + 77 = 0
x = 4

4/2 - y + 3 = 0
y = 5

b) O centro é o ponto médio entre A e C, logo:

1/2 + x/2 = 4
x = 7

11/2 + y/2 = 5
y = -1

c) Vértice B:

Distância de A para B = distância de C para B.
(x - 1)² + (y - 11)² = (x - 7)² + (y + 1)²
x² + y² - 2x - 22y + 122 = x² + y² - 14x + 2y + 50
3x - 5y + 18 = 0

B faz parte da reta anterior e da reta do enunciado, fazendo o sistema:

(1/2)x + 3 - y = 0
3x - 5y + 18 = 0

3x - 5(x/2 + 3) + 18 = 0
3x - 5x/2 - 15 + 18 = 0
x/2 = -3
x = -6
y = 0

Vértice D:

O centro é o ponto médio de B e D, logo:

-6/2 + x/2 = 4
x = 14

0/2 + y/2 = 5
y = 10

Seria bom o gabarito pra conferir.

por **Jose Carlos** Seg 02 Set 2013, 17:52

Olá gabriel23,

Achei legal seu desenvolvimento da solução mas acho que houve algum erro de cálculo na determinação dos vértices B e D. Observe que com os valores que vc encontrou, se marcados no plano não temos um quadrado como pede o enunciado.
Talvez o engano se deva quando vc faz AB = CD resultando na equação 3x - 5y + 18 = 0.

Obrigado

Obs.: É possível que eu esteja enganado.

por gabriel23 Seg 02 Set 2013, 19:07

Errei no desenvolvimento da equação. Obrigado pela correção!

Edit: a correção é somente na letra C, não tenho tempo de fazê-la agora, então se alguém quiser terminar, fique à vontade.

por alexiadb Seg 09 Set 2013, 14:26

Obrigada, a letra A e B estão corretas e a C eu fiz D(A,M) = D(B,M) e deu certo.
Desculpe a demora.

por gabriel23 Seg 09 Set 2013, 20:29

Por nada!

por Fibonacci13 Ter 28 Jun 2022, 14:39

Olá, eu encontrei na letra C, que (x - 1)² + (y - 11)² = (x - 7)² + (y + 1)² =
x-2y+6=0.

Só que quando substituo em x/2 +3 - y = 0 eu chego em absurdos.

Poderiam me ajudar?