Trigonometria equação ...

por spawnftw Qui 29 Ago 2013, 15:51

$sen\;x\;.\;sen\;3x\;=\;\frac{1}{2}$

pessoal, usando a propriedade sen3x = 3senx - 4sen³x eu caí em uma equação biquadrada.

mas achei um gabarito diferente...

segue o gabarito real

Spoiler:

no gabarito o pi/4 também não seria ± ?

por Luck Qui 29 Ago 2013, 16:23

Essa equação não tem valores legais e nao bate com gab.. Verifique se nao é senx.sen3x = 1/2

por spawnftw Qui 29 Ago 2013, 16:38

poxa não sei que ta acontecendo hoje, sempre posto certo.

é essa equação mesmo q você postou, novamente desculpas luck

já editado

por spawnftw Sex 30 Ago 2013, 09:15

Luck veja minha resolução e diga se está correta;

$sen\;x\;.\;sen\;3x\;=\;\frac{1}{2} \\\\\;sen\;x\left ( 3sen\;x\;-\;4sen^3x \right )\;=\;\frac{1}{2}\\\\ 3sen^2x\;-\;4sen^4x\;=\;\frac{1}{2}\;\;\;\; \therefore sen^2x\;=y$

Fica

$8y^2\;-\;6y\;+1\;=\;0$

Achando as raízes Encontrei :

1/2 e 1/4.

como sen²x = y ficamos com

$sen^2x\;=\;\frac{1}{4} \;\;\;\therefore \;sen\;x\;=\;\pm \frac{1}{2}\\\\\\sen^2x\;=\;\frac{1}{2}\;\;\;\;\therefore sen\;x\;=\;\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ae achei o resultado no ciclo trigonométrico, para todos os valores.

encontrei como gabarito

Meu gabarito:

Continuando Gabarito:

ficou um gabarito diferente e bem mais trabalhoso, veja se tem erro, aguardo sua resposta!!

por Luck Sex 30 Ago 2013, 15:42

spawnftw escreveu:Luck veja minha resolução e diga se está correta;

$sen\;x\;.\;sen\;3x\;=\;\frac{1}{2} \\\\\;sen\;x\left ( 3sen\;x\;-\;4sen^3x \right )\;=\;\frac{1}{2}\\\\ 3sen^2x\;-\;4sen^4x\;=\;\frac{1}{2}\;\;\;\; \therefore sen^2x\;=y$

Fica

$8y^2\;-\;6y\;+1\;=\;0$

Achando as raízes Encontrei :

1/2 e 1/4.

como sen²x = y ficamos com

$sen^2x\;=\;\frac{1}{4} \;\;\;\therefore \;sen\;x\;=\;\pm \frac{1}{2}\\\\\\sen^2x\;=\;\frac{1}{2}\;\;\;\;\therefore sen\;x\;=\;\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ae achei o resultado no ciclo trigonométrico, para todos os valores.

encontrei como gabarito
Meu gabarito:

Continuando Gabarito:

ficou um gabarito diferente e bem mais trabalhoso, veja se tem erro, aguardo sua resposta!!

Olá spwanftw, sua solução está correta sim.. mas você poderia escrever de outra forma para reduzir (mas não deixa de estar certo):
{ pi/6 + 2kpi , 5pi/6 + 2kpi , 7pi/6 + 2kpi , 11pi/6 + 2kpi } pode ser escrito como {pi/6 + kpi ou 5pi/6 + kpi } que tb é mesma coisa que x = +-pi/6 + kpi , isso vc pode notar olhando diretamente pelo círculo trigonométrico.
analogamente { pi/4 + 2kpi , 3pi/4 + 2kpi , 5pi/4 + 2kpi , 7pi/4 + 2kpi} pode ser escrito como {pi/4 + kpi ou 3pi/4 + kpi} --> x= +- pi/4 + kpi.
S = {x ∈ ℝ / x = +-pi/6 + kpi ou x = +-pi/4 + kpi , k ∈ ℤ } , houve erro do gabarito na segunda parte.. confirmação do wolfram:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=senx*sen%283x%29+%3D+1%2F2