Números Complexos

(UNICAMP) Um triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência de centro na origem, tem como um de seus 
vértices o ponto do plano associado ao número complexo √3 + i . 
a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo? Faça a figura desse 
triângulo. 
b) Qual a medida do lado desse triângulo?

Se o triângulo é equilátero e a circunferência que o circunscreve tem centro na origem, então o triângulo terá seu centro geométrico (baricentro; centro de gravidade) também na origem.
Os números complexos associados aos vértices desse triângulo possuem a unica diferença de um ser a imagem do outro rotacionada de 60º em torno da origem do plano de Argand-Gauss.
Veja bem: você tem um ponto P₁ que, por exemplo, faz 30º com o eixo dos reais no plano. Se a figura geométrica desse exemplo for um quadrado com o centro de gravidade na origem, então ao rotacionarmos no sentido horário 90º o ponto P₁ (em relação à origem), teremos as coordenadas de um novo ponto P₂ que será um vértice do quadrado. Você pode alegar no momento que é também é totalmente possível obter um novo vértice rotacionando mais 90º, no sentido horário (note que também seria válido ter rotacionado no sentido anti-horário).
No caso da questão, rotacionando o complexo em 120º (medida do ângulo AÔC do triângulo ABC em questão) teremos um novo complexo.

Voltando às contas:
z₁ = √3 + 1 = 2cis(30)
z₂ = 2cis(30 + 120) = 2cis(150) = i - √3 
z₃ = 2cis(150 + 120) = 2cis(270) = -2i

Se você, por curiosidade, quiser rotacionar em mais 120º o último ponto, verá que o ponto obtido é o próprio fornecido pelo enunciado.

Notas: "cis(θ)" é uma abreviatura para cos(θ) + isen(θ).

A medida do lado do triângulo equilátero é obtida por distância entre dois pontos. Usando os dos primeiros pontos:
d_AB = √[(√3 - (-√3))² + (1 - 1))²] = 2√3