Soma de arcos

por rafaelokuta Ter 23 Jul 2013, 23:21

Sendo cotg de alfa = 3/4 e cotg de beta= 1/7 (ambos agudos), calcular alfa + beta.

RESP 135º

por **LPavaNNN** Qua 24 Jul 2013, 00:55

$cotg^2\alpha+1=cossec^2\alpha\\\frac{9}{16}+\frac{16}{16}=\frac{1}{sen^2\alpha}\\\frac{25}{16}=\frac{1}{sen^2\alpha}\\sen\alpha=\frac{4}{5},cos\alpha=\frac{3}{5}$

$\\cotg^2\beta+1=cossec^2\beta\\\frac{1}{49}+\frac{49}{49}=\frac{1}{sen^2\beta}\\sen^2\beta=\frac{49}{50}\\sen\beta=\frac{7}{5\sqrt{2}},cos\beta=\frac{1}{5\sqrt{2}}$

$\\Sen(\alpha+\beta)=sen\alpha.cos\beta+cos\alpha.sen\beta\\\frac{4}{5}.\frac{1}{5\sqrt2}+\frac{3}{5}.\frac{7}{5\sqrt2}=\frac{25}{25\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$

$\\cos(\alpha+\beta)=cos\alpha.cos\beta-sen\alpha.sen\beta\\\frac{3}{5}.\frac{1}{5\sqrt2}-\frac{4}{5}.\frac{7}{5\sqrt2}=\frac{-25}{25\sqrt2}=\frac{-\sqrt2}{2}$

como ambos são agudos temos
alpha<90
beta<90

alpha+beta<180º

o cosseno é negativo antes de 180º apenas no 2º quadrante, o seu valor, equivale a 45 º no 2º quadrante, ou seja 135º

alpha+beta=135º

OBS: Eu fiz as somas dos arcos em seno, mas essa é uma parte inútil da resolução , pode ser ignorada, pois, com o seno n da pra saber se está no 1º ou 2º quadrante, ja que em ambos, seno tem valor positivo. Sendo assim, a soma dos arcos, só precisa ser feita em cosseno.

por **Elcioschin** Qua 24 Jul 2013, 10:21

Outro modo mais rápido:

cotga = 3/4 ----> tga = 4/3
cotgb = 1/7 ----> tgb = 7

tg(a + b) = (tga + tgb)/(1 - tga.tgb)

tg(a + b) = (4/3 + 7)/[1 - (4/3).7]

tg(a + b) = (25/3)/(-25/3)

tg(a + b) = - 1

a + b = 135º

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