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Geometria-Soma das tangentes

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Geometria-Soma das tangentes Empty Geometria-Soma das tangentes

Mensagem por DeadLine_Master Dom 16 Jun 2013, 20:03

Sendo ra, rb e rc ex-raios relativos aos lados a, b e c de um triângulo ABC, tal que ; onde 2p é o perímetro do . Calcule o valor de:



Spoiler:
R.: 2

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Geometria-Soma das tangentes Empty Re: Geometria-Soma das tangentes

Mensagem por DeadLine_Master Seg 01 Jul 2013, 20:23

Como não houve respostas, vou postar a resolução da questão.


Spoiler:

Seja S a área do triângulo considerado. Do estudo da geometria plana pode-se mostrar que os raios dos círculos ex-inscritos ao triângulo se relacionam com os lados e a área deste pelas fórmulas:




Vamos encontrar agora uma relação entre as cotangentes de A/2, B/2 e C/2 e os lados do triângulo. Pela lei dos cossenos:




Usando raciocínio e cálculos totalmente análogos, conclui-se que:




Lembremos também da fórmula de Herão: . Substituindo (1), (2) e (3) na expressão do enunciado, temos:




Elevando L>0 ao quadrado e usando (4) obtemos:



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