Integrais

por **Giiovanna** Sex 07 Jun 2013, 10:14

Olá,

Preciso saber como calcular a seguinte integral: $Integrais Gif$

O problema é que eu tive integrais até somente cálculo de áreas e conheço algumas tecnicas de primitivação. Gostaria de saber o que eu faço quando temos o + infinito lá em cima.Devo fazer um limite?

Agradeço se puderem resolver, a resposta é 1/(k-1) (ou algo do tipo), que é a resposta que eu procuro.

Obrigada Smile

por **Giiovanna** Sex 07 Jun 2013, 10:19

Esqueci de citar. Considere k > 1, isso não pode dar + infinito.

por Matheus Fillipe Sex 07 Jun 2013, 13:31

Olá, já começou a estudar integrais impróprias? sim, você pode converter em um limite da seguinte maneira: (com o passar do tempo será automático mas..)

$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{k}}dx = \lim_{a --> \infty} \int_{1}^{+a} \frac{1}{x^{k}}dx$

Resolvendo:

$\int_{1}^{+a} \frac{1}{x^{k}}dx = \int_{1}^{+a} x^{-k} dx =\frac{x^{1-k} }{1-k} \:\: |_{1}^{a}= \frac{1}{1-k}+\frac{a^{1-k} }{1-k}$

Aplicando o limite, o único termo alterado será o segundo. evidentemente (k deve ser maior que 1):

$\lim_{a --> \infty}\frac{a^{1-k} }{1-k}=0$

Portanto finalmente sobramos com:

$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{k}} dx= --\frac{1}{k-1}$

Que é justamente 1/(k-1). (Tem um menos antes da última fração devida a integração definida, não coloquei)

por **Giiovanna** Sex 07 Jun 2013, 14:07

Oi Matheus, muito obrigada. Não estudei ainda, mas imaginei que tivesse relação com o limite mesmo. Minha resposta foi exatamente essa,

Obrigada por responder Smile

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