Buscando melhorar...

Buscando melhorar o desempenho de seu time, o técnico de uma seleção de futebol decidiu inovar: convocou apenas 15 jogadores, 2 dos quais só jogam no gol e os demais atuam em quaisquer posições, inclusive no gol. De quantos modos ele pode selecionar os 11 jogadores que irão compor o time titular?

Resposta: 650

1) Escolhendo um dos 2 goleiros para jogar no gol restam 13 jogadores para formar os 10 para jogar na linha:

N' = 2.C(13, 10) = 572

2) Escolhendo um dos 13 jogadores para jogar no gol, restam 12 para jogar na linha:

N' = 13.C(12, 10) = 312

Total de modos = 572 + 312 = 884

Tens certeza quanto aos dados do enunciado e quanto à resposta?

Elcioschin escreveu:1) Escolhendo um dos 2 goleiros para jogar no gol restam 13 jogadores para formar os 10 para jogar na linha:

N' = 2.C(13, 10) = 572

2) Escolhendo um dos 13 jogadores para jogar no gol, restam 12 para jogar na linha:

N' = 13.C(12, 10) = 312

Total de modos = 572 + 312 = 884

Tens certeza quanto aos dados do enunciado e quanto à resposta?

Boa noite mestre, os dados estão certos e a resposta que o senhor achou não tem nas opções, e lá no gabarito está como 650.
a minha dúvida também é que como qualquer dos 15 jogadores jogam em qualquer posição não seria arranjo ao invés de combinação?

uninilton

Sua postagem está em desacordo com a Regra XI do fórum: você deixou de postar as alternativas da questão (as quais você chamou de opções), junto com o enunciado.

Eu cometí um erro de cálculo no item 2 da minha solução. Vou recolocar a solução:

1) Escolhendo um dos 2 goleiros para jogar no gol restam 13 jogadores para formar os 10 para jogar na linha:

N' = 2.C(13, 10) ----> N = 2.(13!/3!.10!) ----> N = 2.(13.12.11.10!/6.10!) ----> N = 572

2) Escolhendo um dos 13 jogadores da linha para jogar no gol, restam 12 para jogar na linha:

N" = 13.C(12, 10) ----> N" = 13.(12!/2!.10!) ----> N" = 13.(12.11.10!/2,10!) ----> N" = 858

Total de modos = 572 + 858 = 1430

Como você pode ver, o número é maior ainda do que eu calculei inicialmente, e não coincide com o seu gabarito.

E, não pode ser arranjo: a quantidade seria maior ainda.
E também os 15 não jogam em qualquer posição: somente 13 fazem isto, pois os 2 goleiros só jogam no gol.

Só existem 3 possibilidades

1) Eu errei na interpretação ou nos cálculos (conferí inúmeras vezes)
2) O enunciado tem algum dado errado.
3) O gabarito está errado

Esta questão é de algum livro ou concurso? Informe, por favor e poste as alternativas da questão. . Você nem pode imaginar quantos gabaritos errados existem por aí!

Elcio, porque não é arranjo? Não importa o posicionamento dos jogadores em campo?

Veja:

C(13, 10) = 13!/3!.10! = 13.12.11.10!/6.10! = 13.2.11 = 286

A(13, 10) = 13!/(13 - 10)! = 13!/3! = 13.12.11!/6 = 26.11! = 26.(39 916 800) = 1 037 836 800

Olá:
A primeira parte da resolução do Elcio está correta: se for escolhido um dos dois jogadores que só jogam no gol, teremos de escolher 10 dos outros 13. Daí, termos 2*C(13,10)=572.
A segunda parte só estaria certa se se diferenciasse quem ficava no gol dos restantes. A minha interpretação é outra: é a de que interessa apenas o grupo dos 11 jogadores escolhidos. Sendo assim, se não entrar nenhum dos 2 que só jogam no gol, para formar a equipa podemos escolher 11 elementos quaisquer dos 13 jogadores (pois qualquer um deles pode jogar no gol), pelo que o número de equipas, neste 2º caso, ser C(13,11)=78.
Então, o total de equipas é: 572+78= 650.
Um abraço.
Nota: a resolução 13*C(13,10) originaria repetições. Por exemplo, se se escolhesse A para goleiro + B,C,D,E,F,G,H,I,J,K isso daria o mesmo grupo que B para goleiro + A,C,D,E,F,G,H,I,J,K.´
Um abraço.

Elcioschin escreveu:uninilton

Sua postagem está em desacordo com a Regra XI do fórum: você deixou de postar as alternativas da questão (as quais você chamou de opções), junto com o enunciado.

Eu cometí um erro de cálculo no item 2 da minha solução. Vou recolocar a solução:

1) Escolhendo um dos 2 goleiros para jogar no gol restam 13 jogadores para formar os 10 para jogar na linha:

N' = 2.C(13, 10) ----> N = 2.(13!/3!.10!) ----> N = 2.(13.12.11.10!/6.10!) ----> N = 572

2) Escolhendo um dos 13 jogadores da linha para jogar no gol, restam 12 para jogar na linha:

N" = 13.C(12, 10) ----> N" = 13.(12!/2!.10!) ----> N" = 13.(12.11.10!/2,10!) ----> N" = 858

Total de modos = 572 + 858 = 1430

Como você pode ver, o número é maior ainda do que eu calculei inicialmente, e não coincide com o seu gabarito.

E, não pode ser arranjo: a quantidade seria maior ainda.
E também os 15 não jogam em qualquer posição: somente 13 fazem isto, pois os 2 goleiros só jogam no gol.

Só existem 3 possibilidades

1) Eu errei na interpretação ou nos cálculos (conferí inúmeras vezes)
2) O enunciado tem algum dado errado.
3) O gabarito está errado

Esta questão é de algum livro ou concurso? Informe, por favor e poste as alternativas da questão. . Você nem pode imaginar quantos gabaritos errados existem por aí!

Descupe - me por omitir as alternativas. a)450 b)480 c)550 d)580 e)650
e a questão é do fundamentos de matemática elementar vol 5 - Samuel Hazzan.
só mais uma dúvida: na escalação do time foi escolhido 10 jogadores para jogar na linha, se eu escolher os mesmos jogadores mas em posições diferentes, não seria formas diferentes? ex: A-lateral direito e B-zagueiro, A-zagueiro e B-lateral direito e mudando somente as posições mas usando os mesmos jogadores.
então não poderia se arranjo já que AB SERIA DIFERENTE DE BA?
OBRIGADO PELA ATENÇÃO.

O enunciado deixou a desejar, conforme notou muito bem o Parofi

1) Eu entendí que, no 2º caso, interessava qual dos 13 ficaria no gol: eram 13 possibilidades

2) O Parofi entendeu que isto não era o que o enunciado pedia: tanto fazia quem ia no gol dos 13 jogadores de linha.

Quanto às posições dos 11 jogadores na linha, também é questão de interpretação: tanto eu como o Parofi entendemos que o enunciado não pedia isto

Vejam como um enunciado bem escrito é importante!