EQUACOES

O proprietário de um cinema percebeu que com o
ingresso de R$ 10,00, em média 200 pessoas
assistiam aos filmes, e que para cada redução de
2,00 reais no preço dos ingressos, o público
aumentava em 100 pessoas.
Para que a receita seja máxima, o preço do
ingresso deve ser:

Pode-se perceber que:

L(x) = (10 - 2.x).(200 + 100.x), onde 'x' é o total de vezes que o preço do ingresso é reduzido de R$ 2,00 e 'L(x)' é o lucro em função de 'x'.

A condição para que L(x) seja máximo é L'(x) = 0 (*).

Fazendo-se: f(x) = (10 - 2.x) e g(x) = (200 + 100.x), tem-se:
L(x) = f(x).g(x) e, portanto: L'(x) = g(x).f'(x) + f(x).g'(x).

Mas f'(x) = -2 e g'(x) = 100.

Substituindo f'(x), g'(x), f(x) e g(x) em L'(x), tem-se:

L'(x) = (200 + 100.x).(-2) + (10 - 2.x).(100) <=>
<=> L'(x) = 600 - 400.x .

De (*), vem: 600 - 400.x(máx) = 0 <=> x(máx) = 3/2 = 1,5 .

Ora, mais o preço do ingresso não pode ser reduzido 1,5 vezes.

Então, para que o lucro seja máximo (e respeite as condições do problema) podemos ter duas situações.
Na primeira, o preço do ingresso foi reduzido de R$ 2,00 apenas uma vez e na segunda foi reduzido de R$ 2,00 duas vezes.
Obs: Isso ocorre pois representando 3/2 na reta dos reais, ter-se-á que 3/2 dista 1/2 tanto de 1 como de 2.

Portanto, já temos o lucro máximo.
L(xmáx) = L(1) = R$ 2.400,00 ou, ainda,L(xmáx) = L(2) = R$ 2.400,00.

Alguém poderia me explicar melhor a questão? Não consegui compreender a resolução. A resposta é 6,00 reais.

Novo preço = 10 - 2.x
Nova quantidade de ingressos vendidos = 200 + 100.x

L(x) = (10 - 2.x).(200 + 100.x)

L(x0 = - 200.x² + 600.x + 2000 ---> Função do 2º grau

A função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo: valor máximo do lucro no vértice

xV = - b/2.a ---> xV = - 600/2.(-200) ---> xV = 1,5

Acontece que, pelo enunciado o valor de x deve ser inteiro, logo x = 2

Novo valor do ingresso = 10 - 2.2 = 6