Equações

Determine a condição para que as duas equações quadráticas x² + p1x + q1 = 0 e x² + p2x + q2 = 0, cujos discriminantes são não-negativos, possuam pelo 
menos uma raiz comum.

a) ( ) (p1q1 – p2q2) = (p1 + p2)²
b) ( ) (p1q1 + p2q2) = (p1 + q1).(p2 + q2) 
c) ( ) (q2 – q1)² = (p2 – p1).(p1q2 – q1p2) 
d) ( ) (q2 – p2)² = (q1 – p1).(p1q2 + q1p2) 
e) ( ) (q2 – q1).(p2 – p1) = (p1q2 – q1p2)²

x² + p1x + q1 = (x-a)(x-b)
x² + p2x + q2 = (x-a)(x-c)
∴ (x²+p1x + q1)(x-c) = (x²+p2x+q2)(x-b)
x³+p1x² + q1x - cx² - p1cx - q1c = x³ +p2x² + q2x -bx² -p2bx - q2b
x³ + (p1-c)x² + (q1-p1c)x - q1c = x³ +(p2-b)x² + (q2-p2b)x - q2b
p1-c = p2 - b (i)
q1 -p1c = q2-p2b (ii)
q1c = q2b (iii) 

(i).q1 :
p1q1 - q1c = p2q1 - bq1 , subst. (iii):
p1q1 - q2b = p2q1 - bq1
b(q1-q2) = q1(p2-p1)
b = q1(p2-p1)/(q1-q2) ∴ c = q2(p2-p1)/(q1-q2)

substituindo em (ii) :
q1 -p1c = q2-p2b
q1 - [p1q2(p2-p1)/(q1-q2)] = q2 - [p2q1(p2-p1)/(q1-q2)]
[q1² -q1q2 -p1q2(p2-p1) ]  = [q1q2 -q2² - p2q1(p2-p1) ]
q1² - 2q1q2 + q2² = p1q2(p2-p1) - p2q1(p2-p1)
(q2-q1)² = (p2-p1)(p1q2 -q1p2) , letra c.

daria pra substituir o p e o q a valores reais e dps so ia substituindo nas alternativas?
esse é um sistema de chute mais pra quem nao consegue resolver dessa forma ajudaria bastante

JoaoLeal96 escreveu:daria pra substituir o p e o q a valores reais e dps so ia substituindo nas alternativas?
esse é um sistema de chute mais pra quem nao consegue resolver dessa forma ajudaria bastante

Sim, como é de múltipla escolha vc poderia tentar jogando valores e verificar nas alternativas, por exemplo :
raízes 1 e 2 : x² -3x + 2 , p1 = -3 , q1 = 2
raízes 2 e 3: x² -5x + 6 , p2 = -5 , q2 = 6