Combinatória

19) Cada cartela de uma coleção é formada por seis quadrados coloridos, justapostos como indica na figura a seguir
I___I____I___I
I___I____I___I
Em cada cartela, dois quadrados foram coloridos de azul, dois de verde e dois de rosa. A coleção apresenta todas as possibilidades de distribuição dessas cores nas cartelas nas condições citadas e não existem cartelas com a mesma distribuição de cores. Retirando-se ao acaso uma cartela da coleção, a probabilidade de que somente uma coluna apresente os quadrados de mesma cor é de:
a) 6%
b) 36%
c) 40%
d) 48%
e) 90%

Resposta: C

Hola.

Temos 6 quadrados. Cada dois deles foram pintados com 2 cores iguais, então:

6!/2!2!2! = 90 que é o espaço amostral

Pintando a primeira coluna de V, o número de maneiras de preencher as outras colunas tendo cada uma cores diferentes é:

V A R ...... V A A ...... V R R ...... V R A

V R A ...... V R R ...... V A A ...... V A R

Note que com a cor V eu pintei somente a coluna 1 de 4 formas diferentes, mas ainda pode-se pintar a coluna 2 e 3 usando a cor V, dando um total de: 4*3 = 12 maneiras. Como são 3 cores, então fica: 12*3 = 36 maneiras. Portanto:

P = 36/90

P = 4/10

P = 0,4

P = 0,4*100

P = 40%

No exercício Paulo, você achou o espaço amostral usando 6!/2!2!2!. Agora, como a primeira coluna foi pintada de vermelho, sobrou quatro quadrados para serem pintados com duas cores iguais. Por que tentando usar a mesma maneira de achar o espeço amostral, 4!/2!2!, não encontro a mesma quantidade de maneiras que você demostrou com exemplos visíveis?

4!/2!2!2!=6 é para o v repetido na primeira coluna e conta as outras possibilidades das cores r e a repetidas na segunda e terceira coluna ... 
6x3=18 - 6 ... multiplica o resultado por 3 que são com as outras cores repetidas uma vez em cada coluna.

Ainda fiquei sem entender o uso da combinatória neste cálculo (6!/2!2!2!), pois o texto diz:

"Em cada cartela, dois quadrados foram coloridos de azul, dois de verde e dois de rosa."  

Isto é, em cada cartela as três cores aparecem.

Uso de 6!/2!.2!.2!

É um caso típico de Anagramas: são 6 letras, com repetição, duas a duas:

A, A, R, R, V, V

n = 6!/2!.2!.2! ---> n = 90