Derivada

por Luciana Bittencourt Qua 10 Abr 2013, 14:24

Seja $Derivada Gif$ . Calcule, caso exista, f ' (0).

Resposta:

Spoiler:

por danjr5 Qua 10 Abr 2013, 15:39

Luciana,
de acordo com o enunciado, $f(x) = 0$ se $x = 0$ , por conseguinte, $f(x) = 0$ . Então, $\boxed{f'(0) = 0}$

por Luciana Bittencourt Qui 11 Abr 2013, 11:57

Você resolveu de uma maneira bem simples, que foi como pensei Danjr5, mas no livro tem o seguinte:

$Derivada Gif$

Não era x² sen 1/x?

E termina assim: $Derivada Gif$ .

E tem uma seta com um zero "cortando" x do segundo limite e sen1/x está circulado dizendo que é limitada.

Não entendi essa resolução do livro.

por DeadLine_Master Qui 11 Abr 2013, 13:31

Pelo que entendi o livro usou a própria definição de derivada:

$\\f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \dfrac{f(h+x)-f(x)}{h}\Rightarrow f'(0)=\lim_{h\rightarrow0} \dfrac{f(h)-f(0)}{h}\Rightarrow \\\Rightarrow f'(0) =\lim_{h\rightarrow0} \dfrac{h^2+sen\left(\dfrac{1}{h}\right)}{h}$

Obs.: Acho que o correto seria f(x)=x².sen(1/x) para x≠0, de acordo com a resolução do livro.

por vicenteh Qui 11 Abr 2013, 14:50

Luciana,
eu não sei quanto ao enunciado da sua questão mas a resposta do seu livro
limite de x tendendo a zero da função xsen(1/x) é resolvido pelo teorema do confronto onde -1<=sen(1/x)<=1 logo lim -x<= lim xsen(1/x)<=lim x que após aplicar os limites se torna 0<=limxsen(1/x)<=0.
Os lim significam limite de x tendendo a 0

por Luciana Bittencourt Sex 12 Abr 2013, 13:12

Eu tentei mudar o enunciado para f(x)=x².sen(1/x) para x≠0, mas não dá mais. Entendam como f(x)=x².sen(1/x) para x≠0.

vicenteh, concordo com DeadLine_Master, acho que foi resolvido pela definição de derivada.

O que não entendi foi essa parte: $Derivada Gif$

Por que o x² virou x? E dá zero só porque o zero multiplica sen1/x? E se sen 1/x não fosse limitada?

por DeadLine_Master Sex 12 Abr 2013, 15:51

Luciana Bittencourt escreveu:
O que não entendi foi essa parte: $Derivada Gif$

Por que o x² virou x?

Observe que x tende a 0, mas x não é igual a 0. Então ao invés de usar f(x)=0, deve-se usar f(x)=x²sen(1/x).

$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{x^2sen\left(\dfrac{1}{x} \right)-0}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} xsen\left(\dfrac{1}{x} \right)$

x² foi cancelado com o x que se encontrava no denominador e se tornou x.