PROVE
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dlemos- Jedi
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Re: PROVE
por LucasIME Qui 27 Dez 2012, 19:33
Sabe a resolução e fica como desafio ou quer ajuda nele?
Bem, o que eu fiz até agora:
Fazer MA > MG em cada termo do produto ai vc vai ter:
(a+3b)/4 > raiz quarta de ( ab³)
(b+4c)/5 > raiz quinta de (bc^4)
(c+2a)/3 > raiz cubida de (ca²)
Multiplicando as 3 desigualdades, como tudo é maior que zero nao altera o sinal, entao:
(a+3b)(b+4c)(c+2a) > 60 * a^(11/12) * b^(19/20) * c^(17/15)
Falta provar que a^(11/12) * b^(31/20) * c^(17/15) >= abc.
Ou pode ser por outro caminho, alguma ideia de alguém?
Bem, o que eu fiz até agora:
Fazer MA > MG em cada termo do produto ai vc vai ter:
(a+3b)/4 > raiz quarta de ( ab³)
(b+4c)/5 > raiz quinta de (bc^4)
(c+2a)/3 > raiz cubida de (ca²)
Multiplicando as 3 desigualdades, como tudo é maior que zero nao altera o sinal, entao:
(a+3b)(b+4c)(c+2a) > 60 * a^(11/12) * b^(19/20) * c^(17/15)
Falta provar que a^(11/12) * b^(31/20) * c^(17/15) >= abc.
Ou pode ser por outro caminho, alguma ideia de alguém?
Última edição por LucasIME em Sex 28 Dez 2012, 00:31, editado 1 vez(es)
LucasIME- Fera
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Re: PROVE
por dlemos Qui 27 Dez 2012, 22:08
Sei a resolução e fica como desafio, mas ao mesmo tempo gostaria de ver novas soluções...e o caminho que conheço é utilizando desigualdade das medias mesmo.
dlemos- Jedi
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Re: PROVE
por Robson Jr. Qui 27 Dez 2012, 23:14
Partindo de onde o Lucas parou, com uma pequena correção no expoente do b:
^{\frac{1}{12}}\left ( \frac{c}{b} \right )^{\frac{1}{20}} \geq 1 "\small \\ a^{\frac{11}{12}}b^{\frac{19}{20}}c^{\frac{17}{15}} \geq abc \Leftrightarrow c^{\frac{2}{15}} \geq a^{\frac{1}{12}}b^{\frac{1}{20}} \Leftrightarrow c^{\frac{1}{12}}.c^{\frac{1}{20}} \geq a^{\frac{1}{12}}.b^\frac{1}{20} \Leftrightarrow \left ( \frac{c}{a} \right )^{\frac{1}{12}}\left ( \frac{c}{b} \right )^{\frac{1}{20}} \geq 1")
Eu já havia resolvido uma versão desse problema que definia 0 ≤ a ≤ b ≤ c, suposição esta que faria a demonstração acabar no passo acima. Com a restrição deste tópico, porém, realmente estou sem ideias.
Eu já havia resolvido uma versão desse problema que definia 0 ≤ a ≤ b ≤ c, suposição esta que faria a demonstração acabar no passo acima. Com a restrição deste tópico, porém, realmente estou sem ideias.
Robson Jr.- Fera
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Re: PROVE
por LucasIME Seg 31 Dez 2012, 11:41
Bem, depois de muito testar a questão, ela com o enunciado do jeito que está é falsa.
O enunciado correto é c>b>a>0. Segue o link: http://cms.math.ca/crux/v28/n2/CRUXv28n2.pdf
Bem, ai a solução acaba na linha que o robson escreveu.
O enunciado correto é c>b>a>0. Segue o link: http://cms.math.ca/crux/v28/n2/CRUXv28n2.pdf
Bem, ai a solução acaba na linha que o robson escreveu.
LucasIME- Fera
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Re: PROVE
por dlemos Seg 31 Dez 2012, 13:52
Putzz, fiquei mais confuso ainda sobre a questão agora...kkk estou pelo celular, quarta quando eu voltar para minha casa, posto uma foto do enunciado no livro que esta exatamente assim...sera que esta errado?obrigado pela atenção ao meu tópico Lucas e feliz ano novo!
dlemos- Jedi
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