Valor de a

por EMCM Qua 19 Dez 2012, 10:52

QUESTÃO:
No inicio de um jogo de snooker, colocam-se, com a ajuda de um "triângulo" em madeira ou plástico, quinze das dezasseis bolas com uma disposição triangular, como está esquematizado na imagem. Admite que o "triângulo" referido é um triângulo equilátero.

Valor de a Buscarwp

Admita que:
- $\overline{BM}=\frac{a}{2}$
- $\overline{AM}=\frac{\sqrt{3a^{2}}}{2}$
-De cada lado do triangulo estão 5 bolas.
-Diâmetro de uma bola=6 cm

PERGUNTA:
Determine o valor de a.

por Igor Bragaia Qua 19 Dez 2012, 13:19

$\dpi{120} \\ \text{Aplicando o teorema dos cossenos:} \\ \overline{AM}^2=\overline{BM}^2+\overline{AB}^2-2\overline{BM}.\overline{AB}\cos 60º \\ \frac{3a^2}{4}=\frac{a^2}{4}+30^2-2.\frac{a}{2}\frac{\sqrt\left ( 3a^2 \right )}{2}\frac{1}{2} \\ \frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=900-\frac{a^2\sqrt3}{4} \\ \frac{a^2(2+\sqrt3)}{4}=900 \\ a^2=\frac{3600}{2+\sqrt3} \\ a^2=3600(2-\sqrt3) \\ a=60\sqrt{2-\sqrt3} \\ \text{Aplicando a fórmula do radical duplo}: \\ \sqrt{2-\sqrt3} = \frac{\sqrt6-\sqrt2 }{2} \\ \therefore a=30\left ( \sqrt6-\sqrt2 \right )$

Você tem o gabarito?

por **Giiovanna** Qua 19 Dez 2012, 14:05

Não terminei por que o igor já postou uma resposta, mas eu fiz por semelhança de triângulos, que é uma saída um pouco mais visível. Trace um triângulo equilátero que liga o centro de todas as bolinhas. Você vai entender se fizer o desenhp

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