Qual a probabilidade desse quadrilátero ser um retângulo?

por Mr.Matheus Qui 18 Out 2012, 17:51

Considere um polígono regular P inscrito em um círculo,

a)Assuma que P tenha 6 lados. Escolhem-se quatro vértices de P, formando um quadrilátero. Qual é a probabilidade de
o quadrilátero ser um retângulo?

b)Assuma que P tenha 1000 lados. Escolhem-se quatro vértices de P, formando um quadrilátero. Qual é a probabilidade
de o quadrilátero ser um retângulo?

por **Euclides** Qui 18 Out 2012, 21:05

Como regra geral:

1) podem formar retângulos os polígonos de numero par de lados, por possuírem lados paralelos dois a dois.

2) o número de retângulos formados é obtido por

$\bg_white \boxed{N=C\binom{n/2}{2}}$

em que $n$ é o número de lados do polígono.

Tomando-se 4 lados quaiquer, a probabilidade de que formem um retângulo (quadrados também são retângulos) será dada por

$\bg_white \boxed{P=\frac{C\binom{n/2}{2}}{C\binom{n}{4}}\times 100}$

para um hexágono

$P=\frac{C\binom{3}{2}}{C\binom{6}{4}}\times 100\;\;\to\;\;P=\frac{3}{15}\times 100\;\;\;\to\;20\%$

para o polígono inominável

$P=\frac{C\binom{500}{2}}{C\binom{1000}{4}}\times 100\;\;\;\to\;{\color{Red} 3}.10^{-4}\%$