Questão UFMG. Trapézio

por NegoAlbino Ter 09 Out 2012, 20:01

Nesta figura, está representado o trapézio isósceles ABCD:

Questão UFMG. Trapézio Imagemhhw

Sabe-se que
• os segmentos AC e AD têm o mesmo comprimento;
• o segmento BE é perpendicular ao segmento AD; e
• os segmentos BC e BE medem, cada um, 1 cm.

1. CALCULE o comprimento do segmento AE.

Spoiler:

2. CALCULE a tangente do ângulo θ.

Spoiler:

por **Matheus Vilaça** Sex 12 Out 2012, 20:13

Questão 1
Observe a figura abaixo:
[img] Questão UFMG. Trapézio Imagemquestoforumpir2

[/img]

Como o seguimento BE e BC são catetos do triângulo retângulo ∆BEC, temos que a hipotenusa EC será √2 cm.
Assim o ângulo BÊC será 45º. E como BE é perpendicular a reta AD temos que o ângulo AÊB é 90º.
Logo, o ângulo AÊC é 135º (90º+45º).

Assim pela Lei dos cossenos, temos:
$x^{2}= (\sqrt{2})^{2}+y^{2} - 2.\sqrt{2}.y.cos135º$

Pela figura concluímos que:
$y=\frac{x-1}{2}$

Assim:
$x^{2}= (\sqrt{2})^{2}+(\frac{x-1}{2})^{2} - 2.\sqrt{2}.(\frac{x-1}{2}).(-\frac{\sqrt2}{2})$

Desenvolvendo a equação, obtemos a seguinte equação do segundo grau:
$3x^{2}-2x-5=0$

Calculando suas raízes, obtemos:
$x=\frac{2\pm \sqrt{4+60}}{6}$

Assim:
$\\x^{'}=\frac{5}{3}\\ \\x^{''}=-1$

Como x" não convém, já que é negativo, temos que x=5/3

Logo, o seguimento AE será:
$AE=y=\frac{x-1}{2}$

$AE=y=\frac{\frac{5}{3}-1}{2}$

$AE=y=\frac{\frac{2}{3}}{2}$

$AE=y=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Questão 2
Utilizando a Lei dos Cossenos:
$(\frac{1}{3})^{2}= (\frac{5}{3})^{2}+(\sqrt{2})^{2} - 2.\sqrt{2}.(\frac{5}{3}).cos\theta$

$\frac{10\sqrt{2}}{3}.cos\theta =\frac{42}{9}$

$cos\theta =\frac{21\sqrt{2}}{30}$

Sabemos que:
$sen^{2}\theta + cos^{2}\theta=1$

Calculando o senθ, temos:
$sen\theta =\frac{\sqrt{2}}{10}$

Calculando a tangente, temos:
$tg\theta =\frac{\frac{\sqrt{2}}{10}}{\frac{21\sqrt{2}}{30}}$

$tg\theta =\frac{30}{210}$

$tg\theta =\frac{1}{7}$

Acho que é isso. Qualquer coisa é só perguntar!!!! Smile

por brunoriboli Qua 23 Out 2024, 15:45

Matheus Vilaça escreveu:Questão 1
Observe a figura abaixo:
[img]

Como o seguimento BE e BC são catetos do triângulo retângulo ∆BEC, temos que a hipotenusa EC será √2 cm.
Assim o ângulo BÊC será 45º. E como BE é perpendicular a reta AD temos que o ângulo AÊB é 90º.
Logo, o ângulo AÊC é 135º (90º+45º).

Assim pela Lei dos cossenos, temos:
$gif.latex?x^{2}= (\sqrt{2})^{2}+y^{2} - 2.\sqrt{2}.y.cos135º$

Pela figura concluímos que:
$gif.latex?y=\frac{x-1}{2}$

Assim:
$gif.latex?x^{2}= (\sqrt{2})^{2}+(\frac{x-1}{2})^{2} - 2.\sqrt{2}.(\frac{x-1}{2}).(-\frac{\sqrt2}{2})$

Desenvolvendo a equação, obtemos a seguinte equação do segundo grau:
$gif.latex?3x^{2}-2x-5=0$

Calculando suas raízes, obtemos:
$gif.latex?x=\frac{2\pm \sqrt{4+60}}{6}$

Assim:
$gif.latex?\\x^{'}=\frac{5}{3}\\ \\x^{''}=-1$

Como x" não convém, já que é negativo, temos que x=5/3

Logo, o seguimento AE será:
$gif.latex?AE=y=\frac{x-1}{2}$

$gif.latex?AE=y=\frac{\frac{5}{3}-1}{2}$

$gif.latex?AE=y=\frac{\frac{2}{3}}{2}$

$gif.latex?AE=y=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Questão 2
Utilizando a Lei dos Cossenos:
$gif.latex?(\frac{1}{3})^{2}= (\frac{5}{3})^{2}+(\sqrt{2})^{2} - 2.\sqrt{2}.(\frac{5}{3}).cos\theta$

$gif.latex?\frac{10\sqrt{2}}{3}.cos\theta =\frac{42}{9}$

$gif.latex?cos\theta =\frac{21\sqrt{2}}{30}$

Sabemos que:
$gif.latex?sen^{2}\theta + cos^{2}\theta=1$

Calculando o senθ, temos:
$gif.latex?sen\theta =\frac{\sqrt{2}}{10}$

Calculando a tangente, temos:
$gif.latex?tg\theta =\frac{\frac{\sqrt{2}}{10}}{\frac{21\sqrt{2}}{30}}$

$gif.latex?tg\theta =\frac{30}{210}$

$gif.latex?tg\theta =\frac{1}{7}$

Acho que é isso. Qualquer coisa é só perguntar!!!!