Algebra linear e geometria analitica II
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Algebra linear e geometria analitica II
por Márcio Valente Ter 18 Set 2012, 09:39
4. Prove que A e A^t têm os mesmos autovalores.
Márcio Valente- Recebeu o sabre de luz
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Re: Algebra linear e geometria analitica II
por Iago6 Ter 18 Set 2012, 16:32
Bom se A for uma matriz quadrada fica fácil provar:
Sabendo que para qualquer matriz quadrada B, temos det (B) = det (BT), assim :
= det(\lambda I - A)^T }\\\\ {\color{white} ,} \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\; \mathrm{ = det\left (\lambda I^T - A^T \right )} \\\\ {\color{white} ,} \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\; \mathrm{ = det\left (\lambda I - A^T \right ) } "\mathrm{det(\lambda I - A)= det(\lambda I - A)^T }\\\\ {\color{white} ,} \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\; \mathrm{ = det\left (\lambda I^T - A^T \right )} \\\\ {\color{white} ,} \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\; \mathrm{ = det\left (\lambda I - A^T \right ) }")
Do qual resulta que A e AT têm os mesmos autovalores porque eles têm a mesma equação característica.
Sabendo que para qualquer matriz quadrada B, temos det (B) = det (BT), assim :
Do qual resulta que A e AT têm os mesmos autovalores porque eles têm a mesma equação característica.
Iago6- Fera
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