Problema 1

por Lilian Cristina da Costa Ter 28 Ago 2012, 17:28

Um avião voa a 152,4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1220m no sentido oeste, tomando como referência um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra a esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo. Sabendo que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual deverá ser a velocidade angular ( de giro ) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610 m ?

por Cleyton Qui 30 Ago 2012, 09:07

Bom dia Lilian, você tem o gabarito desta questão?

Questão estranha hein?

O avião viaja no sentido oeste, logo a abcissa sofre uma variação. Concorda? O eixo da ordenada é constante, pois o exercicio não menciona que o avião mudou de altitude.

$Problema 1 Gif$

$Problema 1 Gif$

$Problema 1 Gif$

Então vamos as contas:

$Problema 1 Gif$

$Problema 1 Gif$

Jogando a sec² de theta para o outro lado e substituindo os valores teremos:

$Problema 1 Gif$
$Problema 1 S$

por Lilian Cristina da Costa Qui 30 Ago 2012, 13:49

oi Cleyton, não tenho o gabarito , essa questão é de uma tarefa e vale 2 pontos.

por **Iago6** Qui 30 Ago 2012, 15:32

Eu já respondi essa questão, depois posto a resol....

por Lilian Cristina da Costa Qui 30 Ago 2012, 15:44

Que bom!!!!! cheers

por **Iago6** Sex 31 Ago 2012, 02:17

Velocidade angular

$\mathrm{\omega = \lim_{\Delta t \to 0} \; \frac{\Delta \mathrm{\theta} }{\Delta\mathrm{ t}}= \frac{d\theta}{dt}}$

Definição de velocidade:

$\mathrm{tg \; \theta = \lim_{\Delta t \to 0} \; \frac{\Delta \mathrm{S} }{\Delta\mathrm{ t}}= \frac{dS}{dt} = v }$

De acordo com o enunciado temos a seguinte configuração:

Problema 1 Qstao

Pelo eboço do problema temos a relação entre a velocidade angular instantânea e a velocidade linear, que é:

$\\ \mathrm{tg \; \theta = \frac{ c.o}{c.a}} \\\\\ \mathrm{ tg \; \theta = \frac{y}{x}} \;\; \mathrm{(Derivando \; em \; relação \;ao\; tempo) } \\\\\ \boxed {\mathrm{sec^2 \; \theta \; ^. \;\; \frac{d \theta}{dt} = \frac{dy}{dx}\; ^. \;\frac{dx}{dt}}}$

Perceba, que de acordo com esse esboço , temos duas variáveis, o espaço e tempo, e que relacionando com a velocidade para qualquer valor de x, temos uma função 1220/x, então:

$\\ \mathrm{sec^2 \; \theta \;\; \frac{d \theta}{dt} = \frac{d }{dx}\left (\frac{1220}{x} \right )\; ^. \;\frac{dx}{dt} }\\\\\ \mathrm{sec^2 \; \theta \;\; \frac{d \theta}{dt} = -\left (\frac{1220}{x^2} \right )\; ^. \;\frac{dx}{dt}}$

Como a velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo temos:

$\mathrm{ \frac{dx}{dt} = -152,4 \; m /s}$

Obs: A velocidade é negativa porque o sentido do avião é o OESTE , enquanto que o holofote o sentido é de rotação, ou seja, começa no leste, e termina no oeste, mas até que termine a distância entre a projeção vertical e o holofote será negativa em relação a origem.

$\\ \mathrm{sec^2 \; \theta \;\; \frac{d \theta}{dt} = -\left (\frac{1220 \;m}{x^2} \right ) . \left ( -152,4 \; m/s \right )} \\\\\ \ \boxed {\\ \mathrm{\frac{d \theta}{dt} = \left (\frac{185\; 928 \; m^2 / s}{sec^2 \; \theta . \; x^2} \right )} }$

Pronto, temos aqui a função da questão, agora vamos saber qual a velocidade angular no instante x = 610 m.

→ Pela identidade trignometrica podemos notar que:

$\\ \mathrm{sec^2 \theta = 1 + tg^2 \theta} \\\\ \mathrm{sec^2 \theta = 1 + \left (\frac{1220}{610} \right )^2 }\\\ \mathrm{sec^2 \theta = 5}$

Logo, a velocidade angular do holofote será:

${\color{Yellow} ,} \;\;\;\;\;\; \mathrm{\frac{d \theta}{dt} = \left (\frac{185\; 928 \; m^2 / s}{ 5\; . \; (610\; m)^2} \right )} \\\\\\ \mathrm{\boxed{\mathrm{\frac{d \theta}{dt} \cong {\color{Red} 0,1\; rad / s}} }\Longleftrightarrow \boxed {\mathrm{\frac{d \theta}{dt} \cong {\color{Red} \frac{1}{10} \; rad/s}}}}$