Progressão aritimética

(UFRJ) Cem fileiras de pontos sao formadas de modo que a primeira linha tenha apenas um ponto e cada linha subsequente contenha um ponto a mais que a anterior.
Todos os pontos sao unidos, por segmentos de comprimento 1, de acordo com a lei de formaçao indicada, para as cinco primeiras fileiras, na figura.
Determine o numero total de segmentos unitarios obtidos com essa construçao.


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O Pontos
_ Segmentos

as barras tambem sao segmentos e TODOS tem comprimento 1

Resposta: 5049

Olá heitorheitor.

Nessa questão pode-se perceber um padrão: se você desconsiderar o primeiro ponto, que está na primeira linha, os pontos crescem na mesma proporção, ou melhor, na mesma quantidade que os segmentos de reta. Por exemplo, no primeiro ponto da segunda linha que a partir de agora será o nosso referencial, há também um segmento de reta. No segundo ponto, apareceram dois segmentos de reta; com o terceiro ponto (primeiro da terceira linha) há três segmentos de reta... e assim sucessivamente.

Então, para achar o número de segmentos, basta calcular o número total de pontos e retirar um (o da primeira linha, que foi desconsiderado no início):

Total de pontos:
an = a1 + (n-1).r
a1= 1 (um ponto na primeira fileira)
a100 = 1 + 99.1 = 100 pontos na última fileira

Soma de todos os pontos = (a1 + an). n / 2

(1 + 100).100 / 2 = 5050

5050 - 1 = 5049 segmentos de reta

heitorheitor escreveu:(UFRJ) Cem fileiras de pontos sao formadas de modo que a primeira linha tenha apenas um ponto e cada linha subsequente contenha um ponto a mais que a anterior.
Todos os pontos sao unidos, por segmentos de comprimento 1, de acordo com a lei de formaçao indicada, para as cinco primeiras fileiras, na figura.
Determine o numero total de segmentos unitarios obtidos com essa construçao.


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O Pontos
_ Segmentos

as barras tambem sao segmentos e TODOS tem comprimento 1

Resposta: 5049

Boa tarde, Heitor.

O número de segmentos é igual ao número de "pontos", menos 1; assim, em 5 fileiras, temos:
1+2+3+4+5 = 15 pontos
0+2+3+4+5 = 14 segmentos

Logo, o número de segmentos será igual ao número total de pontos, menos 1:
S-1 = (1+100)*100/2 - 1 = 101*50 - 1 = 5050 - 1 = 5049







Um abraço.